Analysis II - Uni Siegen

08. Dezember 2015
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Analysis II
Wintersemester 2015/16
Übungsblatt 8
Bitte geben Sie Ihre Lösungen der Aufgaben am Dienstag, 15. Dezember 2015, in der Vorlesung ab.
Die Aufgaben werden von Ihren Übungsleitern korrigiert und in den Übungen vom 04.–08. Januar
2016 besprochen.
Aufgabe 8.1* (8 Punkte):
n
Sei V = R3 und M = (x, y, ( 12 )n ) : x, y ∈ R mit x2 + y 2 ≤
Norm k · k2 auf V . Bestimmen Sie:
1
,n
n2
∈N
o
⊆ V mit der euklidischen
(a) alle inneren Punkte von M in (V, k · k2 ),
(b) alle Berührpunkte von M in (V, k · k2 ),
(c) alle Häufungspunkte von M in (V, k · k2 ),
(d) alle isolierten Punkte von M in (V, k · k2 ),
(e) alle Randpunkte von M in (V, k · k2 ).
Aufgabe 8.2* (8 Punkte):
(a) Sei V = Rn mit der euklidischen Topologie. Sei ε > 0. Zeigen Sie, dass
• die Mengen Aε = {x ∈ Rn : kxk < ε} offen sind,
• die Mengen Bε = {x ∈ Rn : kxk ≤ ε} abgeschlossen sind,
• jede endliche Teilmenge des Rn abgeschlossen ist.
(b) Geben Sie Beispiele dafür, dass ein unendlicher Schnitt von offenen Mengen im R2 nicht offen
und eine unendliche Vereinigung von abgeschlossenen Mengen im R2 nicht abgeschlossen sein
muss.
(c) Sei I = [a, b], a < b, und V = C (1) (I). Prüfen Sie, ob (V, k · k) mit der Abbildung k · k : V → R
gegeben durch
Z
b
kf k = |f (a)| +
|f 0 (x)| dx
a
ein normierter Raum ist. (Sie dürfen als bekannt voraussetzen, dass V ein Vektorraum ist.)
Bitte wenden!
Aufgabe 8.3* (7 Punkte):
Sei V = Rn×m der Vektorraum der reellen n × m–Matrizen versehen mit der Abbildung
k · kn×m : V → R
gegeben durch
kAkn×m = max{|aij | : i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m},
A ∈ Rn×m .
(a) Weisen Sie nach, dass k · kn×m eine Norm ist (genannt Maximumsnorm).
(b) Zeigen Sie, dass für A ∈ Rn×m und B ∈ Rm×p gilt:
kA · Bkn×p ≤ mkAkn×m · kBkm×p .
(c) Für A ∈ Rn×n definiert man die Exponentialreihe
exp(A) =
∞
X
Ak
.
k!
k=0
Zeigen Sie, dass die Reihe in der Maximumsnorm konvergiert. (Der Grenzwert ist also eine
Matrix, die mit eA bezeichnet wird.
Aufgabe 8.4* (7 Punkte):
Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der
folgenden Aussagen:
(i) f ist stetig.
(ii) Das Urbild f −1 (M ) ⊆ X jeder offenen Teilmenge M ⊆ Y offen ist.
(iii) Das Urbild f −1 (M ) ⊆ X jeder abgeschlossenen Teilmenge M ⊆ Y sbgeschlossen ist.