Mengen

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Arbeitsblatt 2
Wirtschaftsingenieure
Mengen
Definitionen:
• Eine Menge M ist die Gesamtheit bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder
unseres Denkens, wobei von jedem Objekt x eindeutig feststeht, ob es zu M gehört (x ∈ M ) oder nicht
(x 6∈ M ). Die zu M gehörigen Objekte x heißen Elemente
• A heißt Teilmenge oder Untermenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.
symbolisch: A ⊆ B und A ⊂ B, falls A echte Teilmenge von B ist
Mengenoperationen:
Symbolik
Bezeichnung
Sprechweise
Bedeutung
A∩B
Durchschnitt
A geschnitten mit B
{x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
A∪B
Vereinigung
A vereinigt mit B
{x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
A\B
Differenz
A
A minus B, A ohne B
{x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Komplement von A bzgl.
einer Obermenge M
(= A ∩ B, falls A, B ⊆ M )
{x | x ∈ M ∧ x 6∈ A} = M \ A
Einige wichtige Mengen:
Symbol
∅
N
N0
Z
Q
R
I
R+
C
Bedeutung
leere Menge = { }
Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, . . .}
Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen = N ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . .}
Menge der ganzen Zahlen = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Menge der rationalen Zahlen = { pq | p ∈ Z, q ∈ N}
Menge der reellen Zahlen
Menge der irrationalen Zahlen = R \ Q
Menge der nichtnegativen reellen Zahlen = {x ∈ R | x ≥ 0}
Menge der komplexen Zahlen = {z | z = x + iy mit x, y ∈ R und i2 = −1}
Einige Regeln und Gesetze:
Für beliebige Mengen A, B, C gilt:
A⊆A
Reflexivität
A⊆B∧B ⊆C ⇒A⊆C
Transitivität
∅ ⊆ A, A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅
A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A
Kommutativgesetze
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C, (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
Assoziativgesetze
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Distributivgesetze
A ∪ A = A, A ∩ A = A
Idempotenzgesetze
Für Teilmengen A, B ⊆ M gilt:
A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B
A ∪ A = M, A ∩ A = ∅, A = A
Formeln von de Morgan