Algebra II Übungsblatt 1

Prof. Dr. Konrad Waldorf
Universität Greifswald
Sommersemester 2017
Algebra II
Übungsblatt 1
Abgabe: 12.4.2017
Aufgabe 1. Es sei D2 := {x ∈ R2 | kxk ≤ 1} die Einheitskreisscheibe (wobei kxk die Euklidische Metrik
ist). Wir definieren die „Französische Eisenbahnmetrik “ auf D 2 durch

kx − yk
falls x und y auf einer Gerade durch den Nullpunkt liegen
d(x, y) :=
kxk + kyk sonst.
Zeigen Sie, dass es sich um eine Metrik handelt, und dass ihre Einschränkung auf S 1 := {x ∈ R2 | kxk = 1}
die diskrete Metrik (mal zwei) ist. Wie sehen die -Umgebungen von (0, 0) und ( 12 , 0) aus?
Aufgabe 2. Beweisen Sie folgende Aussage aus der Vorlesung. Seien (X, dX ) und (Y, dY ) metrische Räume
/ Y eine Abbildung. Dann sind die folgenden Stetigkeitsbegriffe äquivalent:
und f : X
(a) Zu jedem x ∈ X und > 0 gibt es ein δ > 0, so dass für alle x0 ∈ X mit dX (x, x0 ) < δ gilt:
dY (f (x), f (x0 )) < .
(b) Die Urbilder offener Mengen sind offen.
Aufgabe 3. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Sei Spec(R) := {I | I ist Primideal in R}. Für S ⊆ R
sei N (S) := {I ∈ Spec(R) | S ⊆ I} ⊆ Spec(R), und U (S) := Spec(R) \ N (S). Es sei
T := {U (S) | S ⊆ R}.
(a) Zeigen Sie, dass T eine Topologie auf Spec(R) ist. (Sie heißt die „Zariski-Topologie “. )
(b) Beschreiben Sie die offenen Mengen von Spec(Z).
(c) Ist Spec(Z) Hausdorffsch?
(d) Ist Spec(Z) kompakt?
Aufgabe 4.
(a) Zeigen Sie, dass sich die Eigenschaft „Hausdorffsch “, auf Unterräume, Produkte, und disjunkte Vereinigungen vererbt.
(b) Zeigen Sie, dass in einem Hausdorff-Raum alle einpunktigen Mengen {x} abgeschlossen sind.
(c) Konvergiert eine Folge (xn )n∈N in einem Hausdorff-Raum sowohl gegen x als auch gegen y, so gilt x = y.