Blatt 3

Prof. Dr. Vadim Kostrykin
Amru Hussein
Übungsblatt 3 zur Vorlesung
Analysis 1
im Sommersemester 2010
Vorbemerkung: Der Begriff der Menge ist ein grundlegender Begriff der Mathematik. Man
kann ihn auf verschiedene Weisen axiomatisch formulieren. Dies geschieht aus Platz- und Zeitgründen nicht im ersten Semester. Es genügt zuerst eine Menge als die Vereinigung der in der
Menge enthaltenen Elemente zu betrachten. Die Art der Elemente kann sehr unterschiedlich
sein. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält als ihre Elemente Zahlen. Die Potenzmenge
enthält als Elemente selber Mengen, jede Teilmengen ist ein Element.
Notation: Ist x ein Element der Menge X, so schreibt man x ∈ X. Ist x kein Element von
X schreibt man x ∈
/ X. Es ist weiter sinnvoll eine Menge zu definieren, die keine Elemente
enthält. Dies ist die leere Menge ∅.
Mengenoperationen:
N
(a) Inklusion: Seien A, B Mengen. A ist eine Teilmenge von B, falls gilt: Aus a ∈ A folgt,
a ∈ B. Man schreibt A ⊂ B. Insbesondere gilt A ⊂ A. Gilt A ⊂ B, aber nicht B ⊂ A,
so schreibt man auch A ( B.
(b) Gleichheit: Zwei Mengen A, B heißen gleich, falls A ⊂ B und B ⊂ A gilt. Zwei Mengen
sind also gleich, falls sie dieselben Elemente enthalten.
(c) Vereinigung: Für zwei Mengen A, B kann man eine neue Menge A ∪ B definieren. Sie
besteht aus allen Elementen die in A oder in B liegen,
A ∪ B := {x | x ∈ A oder x ∈ B} .
(d) Schnitt: Für zwei Mengen A, B kann man eine neue Menge A ∩ B definieren. Sie besteht
aus allen Elementen die in A und in B liegen,
A ∩ B := {x | x ∈ A und x ∈ B} .
(e) Mengendifferenz: Die Menge A \ B ist die Menge aller Elemente, die in A, aber nicht in
B liegen,
A \ B := {x | x ∈ A und x ∈
/ B} .
(f) Für alle Mengen X gilt ∅ ⊂ X.
Aufgabe 1)
(Mengen) (4 Punkte)
Es seinen A, B und C beliebige Mengen.
(a) Bestimmen Sie A ∩ ∅, A ∪ ∅ und P (∅).
(b) Zeigen Sie, dass
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .
(c) Es gelte A ⊂ C und B ⊂ C. Beweisen Sie
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B).
Hinweis: Zeigen Sie in b) und c) die beiden Inklusionen, um Gleichheit zu zeigen.
bitte wenden
Aufgabe 2)
(Potenzmengen) (4 Punkte)
(a) Gegeben ist die Menge X = {0, 1}. Bestimmen Sie die Potenzmenge P (X) und die
Potenzmenge der Potenzmenge P (P (X)).
(b) Es sei N (n) := {1, 2, . . . n} ⊂
0 ≤ k ≤ n?
N. Wie viele Teilmengen von N (n) haben k Elemente,
(c) Wie viele Elemente hat P (N (n))?
(d) Seien X, Y beliebige Mengen mit |X| ≤ |Y |. Folgern Sie, dass |P (X)| ≤ |P (Y )|.
Hinweis: Zeigen Sie in d) die Existenz einer injektiven Abbildung P (X) → P (Y ).
Aufgabe 3)
(Injektive und surjektive Abbildungen) (4 Punkte)
Gegeben sei eine Abbildungen f : X → Y, x 7→ f (x).
(a) Die Aussage f ist surjektiv ist äquivalent zu der Aussage: Es exisistiert eine Abbildung
g : Y → X, y 7→ g(y) mit f ◦ g = IdY .
(b) Die Aussage f ist injektiv ist äquivalent zu der Aussage: Es exisistiert eine Abbildung
h : Y → X, y 7→ h(y) mit h ◦ f = IdX .
Hinweis: Aufgabe 1 auf Blatt 2.
Aufgabe 4)
(Körper) (4 Punkte)
(a) Es sei K ein Körper und a, b ∈ K. Zeigen Sie: Aus a · b = 0 folgt, dass a = 0 oder b = 0.
(b) Konstruieren Sie einen Körper F3 aus drei Elementen. Gibt es einen Körper mit einem
Element?
(c) Definieren Sie alle möglichen Ordnungen auf dem in b) konstrierten Körper.
(d) Welche der in c) gefundenen Ordnungen hat die zusätzlichen Eigenschaft, dass aus a ≤ c
und b ≤ d folgt, dass a + b ≤ c + d.
Hinweis: Orientieren Sie sich bei Teil b) an der Konstruktion des Körpers F2 in der Vorlesung.
Aufgabe 5)
(Bernoullische Ungleichung) (4 Punkte)
Es sei x ≥ −1 und n ∈
N. Beweisen Sie, dass (1 + x)n ≥ 1 + nx gilt.
Abgabe am Mittwoch, den 05.05.2010, um 15 Uhr