1 드 드 Т • ( -1)k-1 • ( -2)k-2 -1 -1 -2 -2

BinomialkoeÆzient
Fur
n
2 IN 2 ZZ
Fur
;k
a
2
IR; k
k
a
deniert man
k
!
n
n
deniert man
2 ZZ
8
! >
<
=
>
:
k
1
0
!(n
8
! >
<
=
>
:
k
(
fur
sonst, d.h. fur
1)(a
a a
1kn
fur
)!
2) : : : (a
k!
1
0
=0
k < 0
oder
k
k
+ 1)
fur
fur
fur
(1)
k > n :
0
k = 0
k < 0:
k >
(2)
Fur k 1 bzw. fur k 2 bzw. ... ist
a
k
!
=
(
a a
1)(a
2) : : : (a
k!
k
+ 1)
(a)k
=
k!
=
=
Anwendungsbeispiel:
!
a
a
(1 + t) = 1 +
t
1
a
a
k
k
a
k
a
1
1
!
a
+
((
2
t
2
!
k
1)k 1 a(a
=
1)!
k (k
1)
1)
(
(
2
2
k k
!
a
+
1)
1)
a a
=
t
3
3
+ :::
a
k
((
a
!
k
= :::
2)k 2
= :::
2)!
:
(3)
:
Fur a 2 IN verschwinden alle Potenzen groer als a (die u bliche binomische Reihe). Fur a 2
= IN ist die
rechte Seite eine unendliche Reihe. Fur a = 1 erhalten wir zum Beispiel
1
=1
1+t
t
+ t2
k1 ; k2 ; : : : ; kr
mit
PolynomialkoeÆzient
Fur naturliche Zahlen n sowie
wie folgt:
3
t
Pr
i=1
!
n
:=
k1 ; k2 ; : : : ; kr
+ t4
ki
:
= n deniert man den PolynomialkoeÆzienten
!
n
! !
+:::
k1 k2 : : : kr
!
r
X
;
ki
=n:
(4)
1
Eigenschaften der BinomialkoeÆzienten
Fur naturliche Zahlen n gilt
!
n
=
k
Fur alle reellen a gelten der Additionssatz
a
!
k
sowie die Additionstheoreme
n
!
a
j
k
a
!
b
j
=
(5)
:
k
+1
+
=
k + 1
k +1
a
!
k
X
j =0
!
n
a
!
:
(6)
:
(7)
!
+b
k
und
k
X
a
+j
!
=
j
j =0
Binomischer Satz
(a
) =
b
!
n
!
( 1)
n k bk
!
n
k
k=0
(9)
:
n k k
a
k
(8)
:
a
k
k=0
n
X
+k+1
k
n
X
(a + b)n =
n
a
b
(10)
:
Pascalsches Dreieck
BinomialkoeÆzient
n
0
1
2
3
4
5
6
Folgerung aus (9):
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
...
...
Fur 0 p 1 und
n
1 = (p + q ) =
Mit (3) ist
!
n
X
k
k=0(1)
n
k=0(2)
n
X
k=0
k n k
p q
k
und weiter
n
X
...
...
...
q
:= 1
!
n
k
=
k n k
p q
np
n
X
k=1
n
X
=
np
=
np p
...
(
k k
1)
k
k n k
p q
ist
p
=
n
X
k
n
1
( + q)n
=
n n
(
1)p
2
=
(
1)p
2
n n
!
p
!
k
k=0
1
k n k
q p
k
1 (n
1)
k
(n
k)
p q
q
1
(11)
:
(k
1)
= np :
n
X
k=2
:
!
k
1
1
n
...
n
k=0
!
n
...
n
k
(12)
!
2
2
k
p
2 (n
q
2)
(k
2)
(13)