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Fachhochschule Regensburg WS 2006/07 Studiengang Mathematik Siegmar Dietrich Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden Knobelaufgaben zum Mathematik-Vorkurs 1. m und n seien ungerade naturliche Zahlen. Dann ist n2 − m2 durch 8 und n4 − m4 durch 16 teilbar. Beweisen und verallgemeinern Sie diese Aussage. 2. Es sei p eine Primzahl ≥ 5. Dann ist p2 + 2 durch 3 teilbar. 3. Welche der beiden Zahlen 3111 und 1714 ist groer. (Diese Frage wird naturlich ohne Taschenrechner beantwortet). √ √ √ √ √ √ √ 4. Es seien N1 = a a+ ab und N2 = b b+ ab, wobei ab = 1 und a+ b = 3 gilt. Berechnen Sie N1 + N2 und N1 · N2 . √ √ 5. Die Zahlen Am seien deniert durch Am = 2 + 1 + 2 − 1 . Beweisen Sie fur alle naturlichen Zahlen m > n die Gleichung Am+n = Am · An − Am−n . m m 6. Es sei m eine naturliche Zahl. Dann gilt: 2m − 2 ist genau dann durch 3 teilbar, wenn m ungerade ist. Fachhochschule Regensburg WS 2006/07 Studiengang Mathematik Siegmar Dietrich Prof. Dr. Heinz-Willi Goelden Knobelaufgaben zum Mathematik-Vorkurs 1. m und n seien ungerade naturliche Zahlen. Dann ist n2 − m2 durch 8 und n4 − m4 durch 16 teilbar. Beweisen und verallgemeinern Sie diese Aussage. 2. Es sei p eine Primzahl ≥ 5. Dann ist p2 + 2 durch 3 teilbar. 3. Welche der beiden Zahlen 3111 und 1714 ist groer. (Diese Frage wird naturlich ohne Taschenrechner beantwortet). √ √ √ √ √ √ √ 4. Es seien N1 = a a+ ab und N2 = b b+ ab, wobei ab = 1 und a+ b = 3 gilt. Berechnen Sie N1 + N2 und N1 · N2 . √ √ 5. Die Zahlen Am seien deniert durch Am = 2 + 1 + 2 − 1 . Beweisen Sie fur alle naturlichen Zahlen m > n die Gleichung Am+n = Am · An − Am−n . m m 6. Es sei m eine naturliche Zahl. Dann gilt: 2m − 2 ist genau dann durch 3 teilbar, wenn m ungerade ist.
