Welche natürlichen Zahlen sind nicht die Summe von 2 oder mehr

Welche natürlichen Zahlen sind nicht die Summe von 2 oder mehr aufeinander folgenden
natürlichen Zahlen?
Antwort: Die Potenzen von 2 sind nicht die Summe von 2 oder mehr aufeinander folgenden
natürlichen Zahlen, alle anderen Zahlen lassen sich so darstellen.
Beweis:
1.) Ist eine natürliche Zahl n durch eine ungerade Zahl p teilbar, so ist n wegen
p
n
i= 1
p
p
1
n.
=
i
p
p
2
p
1.
p
p .( p
2
1)
= n
2
die Summe von p aufeinander folgenden ganzen Zahlen.
Beispiel: Für n = 33 und p = 11 gilt n = ( -2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 .
n
Im Falle
p
p
1
2
> 0 oder = 0 ist die kleinste und damit jede dieser p Zahlen eine natürliche Zahl
und damit n die Summe von 2 oder mehr aufeinander folgenden natürlichen Zahlen.
Beispiel: Für n = 33 und p = 3 gilt n = 10 + 11 + 12 .
Lässt sich nun n als Produkt mit mindestens zwei ungeraden Faktoren p und q darstellen, also
n = p . q . r mit
n
wegen
p q
und einer weiteren natürlichen Zahl r , so ist die kleinste der obigen p Zahlen
p
= q .r > p >
p
1
tatsächlich eine natürliche Zahl und somit ist n als Summe von 2 oder
2
mehr aufeinander folgenden natürlichen Zahlen darstellbar.
Gibt es aber keine Faktorisierung von n mit mindestens zwei ungeraden Faktoren, so lautet die
Primfaktorzerlegung n = p . 2s . Dann gilt
s
2
1
p
i= 1
1
2
s
2
i
=
p
1.
2
s
2
1
s s
2 .2
1
s
2
1.
s
2
1
1
= (p
1) .2
s
2 .s
2
1
2 .s
2
1
s
2
= p .2
2
Auch in diesem Fall ist n also die Summe von 2 oder mehr aufeinander folgenden ganzen Zahlen.
s
= n
Beispiel: Für n = 12 (also p = 3 und s = 2 ) gilt n = ( -2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
n
Wegen
n
p
p
p
p
1
p .2
s
1
=
2
p
p
< 0 , dass
p
2
1
2
1
s
=
2
p
1
2
2
s
1 > 0 ist .
2
p
1 =
1
s
2
1
2
gilt dann für
Eine der obigen beiden Darstellungen von n als Summe von 2 oder mehr aufeinanderfolgenden
ganzen Zahlen ist also eine Summe natürlicher Zahlen.
2.) Ist die Zahl n aber durch keine ungerade Zahl teilbar, so gilt n = 2s. Falls sich dann n als
Summe von 2 oder mehr aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen schreiben lässt, etwa
k
j
, so gilt:
i
i= 1
k
n =
s
2
=
j
i= 1
i =
k.j
k.( k
1)
, also
s
2
1
=
k.( 2.j
k
1)
2
Dann wäre k eine gerade Zahl und daher 2j+k+1 eine ungerade Zahl. Da das Produkt dieser beiden Zahlen
s+1
aber 2 ist, müsste 2j+k+1 die Zahl 1 sein. Daraus ergibt sich aber k = -2j, d.h. eine der beiden Zahlen ist
negativ oder beide =0. Daher beginnen die Summanden der obigen Summe entweder bei einer negativen
Zahl oder die Anzahl der Summanden ist kleiner als 2.
Eine Zweierpotenz ist also nicht die Summe von 2 oder mehr aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.