Blatt 1

Übungen zur Vorlesung Mathematische Probleme für den Schulunterricht
H. Klein
Blatt 1,15. April 2016
Der Übungsbetrieb beginnt mit den Übungen am Mittwoch den 20.4 beziehungsweise
Donnerstag den 21.4. Für das Skript und die Lösungen der Übungsaufgaben siehe die
in der Vorlesung genannte Seite
http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/mpss16/
(1) Seien A, B zwei verschiedene Punkte. Zeigen Sie, dass die Menge g aller Punkte P
der Ebene mit |AP | = |BP | genau die Mittelsenkrechte der Strecke AB ist, d.h. die
auf AB senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt von AB.
(2) Sei n ∈ N mit n ≥ 3 und sei C ein konvexes n-Eck (man hat also n Ecken
A0 , A1 , . . . , An = A0 deren Kanten Ai−1 Ai für 1 ≤ i ≤ n sich jeweils nur in aufeinanderfolgenden Randpunkten schneiden und die zusammen eine konvexe Menge
in der Ebene beranden). Für jedes 1 ≤ i ≤ n sei αi der Innenwinkel von C in Ai .
Zeigen Sie, dass dann α1 + · · · + αn = (n − 2)π gilt.
(3) Sei ∆ = ABC ein Dreieck mit den Seiten a, b, c in den Standardbezeichnungen. Weiter bezeichne D den Lotfußpunkt von C auf AB (dies ist dann der Höhenfußpunkt
von ∆ auf der Seite AB) und setze p := |AD| und q := |BD|.
(a) Zeigen Sie, dass ∆ genau dann in C einen rechten Winkel hat wenn die sogenannten Kathetensätze a2 = qc und b2 = pc gelten.
(b) Finden Sie ein Beispiel in dem zwar a2 = qc gilt, das Dreieck ∆ aber nicht
rechtwinklig ist.
(4) Sei (a, b, c) ein primitives pythagoräisches Tripel. Zeigen Sie:
(a) Die Zahl c ist ungerade und eine der beiden Zahlen a, b ist ungerade die andere
aber durch 4 teilbar.
(b) Sei a ungerade. Dann gibt es teilerfremde natürliche Zahlen r, s ∈ N die nicht
beide ungerade sind so, dass r > s, a = r2 − s2 , b = 2rs und c = r2 + s2 gelten.
(c) Sind umgekehrt r, s ∈ N teilerfremd mit r > s und nicht beide ungerade, so ist
(r2 − s2 , 2rs, r2 + s2 ) ein primitives pythagoräisches Tripel.
Abgabe: Freitag, den 22. April bis 1400 im Schrein.