Lineare Algebra WS 2012/13

Lineare Algebra WS 2012/13
Lösungsskizze Serie 2
Aufgabe 1:
Wir müssen folgende Eigenschaften beweisen:
(i) ((a, b) · (c, d)) · (e, f ) = (a, b) · ((c, d) · (e, f ))
(ii) (a, b) · (1,
0) = (1, 0) ·(a, b)
= (a, b)
a
−b
a
−b
(iii) (a, b) · a2 +b2 , a2 +b2 = a2 +b
· (a, b) = (1, 0) falls (a, b) 6= (0, 0).
2 , a2 +b2
Wir haben
((a, b) · (c, d)) · (e, f )
(a, b) · ((c, d) · (e, f ))
=
(ac − bd, ad + bc) · (e, f )
=
(ace − bde − adf − bcf, acf − bdf + ade + bce),
=
(a, b) · (ce − df, cf + de)
=
(ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf ),
und es gilt ((a, b) · (c, d)) · (e, f ) = (a, b) · ((c, d) · (e, f )). Für (ii) rechnen wir
(a, b) · (1, 0)
=
(a − 0, b + 0) = (a, b),
(1, 0) · (a, b)
=
(a − 0, b + 0) = (a, b),
und dann folgt (ii). Fur (iii) rechnen wir
a
−b
a2
−b2
−ab
ab
(a, b) ·
,
−
,
+
=
a2 + b2 a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2 a2 + b2
a 2 + b2
= (1, 0)
und
−b
a
, 2
2
2
a + b a + b2
−b2
ab
−ab
a2
−
, 2
+ 2
2
2
2
2
2
a +b
a +b a +b
a + b2
(1, 0).
· (a, b)
=
=
Aufgabe 2:
Wir müssen folgendes beweissen:
(i) Die multiplikation ist kommutativ. Das heißt e × x = x = x × e.
(ii) Das Element e ist e × e = e × e = e und e × x = x × e = x erfüllt.
(iii) Wir haben x−1 = x und e−1 = e. Das heisst x × x = e und e × e = e.
(iv) Geben (a, b, c) ∈ G × G × G, (a × b) × c = a × (b × c).
Alle Eigenschaften folgen durch direktes Ausrechnen.
Aufgabe 3:
Seien n1 und n2 ganze Zahlen. Falls n1 , n2 beide gerade oder beide ungerade sind,
so ist n1 + n2 gerade. In diesem Fall folgt ϕ(n1 + n2 ) = e = m(ϕ1 (n1 ), ϕ(n2 )). Ist
beispielsweise n1 gerade und n2 ungerade, so ist n1 + n2 ungerade und wir haben
1
ϕ(n1 + n2 ) = x = m(e, x) = m(ϕ(n1 ), ϕ(n2 )). Der Fall n1 ungerade und n2 gerade
ist analog. Folglich gilt stets ϕ(n1 + n2 ) = m(ϕ(n1 ), ϕ(n2 )).
Aufgabe 4: Definitionsgemäß ist
(a−1 )−1 × a−1 = 1
richtig. Es gilt
((a−1 )−1 × a−1 ) × a = a.
Dann
(a−1 )−1 × (a−1 × a) = a.
Es gilt
(a−1 )−1 × e = a
und
(a−1 )−1 = a.
2