Mathematik III für Maschinenwesen

Miniquiz – L2 ([−π, π])
Für f (x) = 1 + sin(3x) und g(x) = 2 − cos(x) gilt
1
(f , g) = (1 + sin(3x))(2 − cos(x))
2
(f , g) = 0
3
(f , g) = 4π
4
(f , g) = 2 − 3π
Lösung
π
Da (f , g) = −π
f (x)g(x) ∈ R ist 1 falsch. Die trig. Funktionen
bilden eine Orthogonalbasis, also ist nur das Produkt von 1 mit
2 nichtverschwindend. Somit ist 3 richtig.
R
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Mathematik III
Miniquiz – L2 ([−π, π])
Eine Funktion f sei ungerade um x = π/2 und ungerade um
x = 0. Für dessen Fourier-Entwicklung gilt:
1
Alle ak = 0.
4
Alle ungeraden ak = 0.
2
Alle bk = 0.
5
Alle geraden bk = 0.
3
Alle geraden ak = 0.
6
Alle ungeraden bk = 0.
7
Es müssen nur rund ein Viertel aller Koeffizienten
berechnet werden.
Lösung
Da f ungerade bzgl. x = 0 gilt, sind alle ak = 0. Da f zusätzlich
ungerade bzgl. x = π/2 ist, sind auch alle ungeraden bk Null.
Also sind 1 , 3 , 4 und 6 richtig. Durch Zusammenzählen
folgt 7 .
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Mathematik III
Punktweise Konvergenz Fourierreihe
(
f (x) =
x+π
π ,
x−π
π ,
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x ∈ (−π, 0]
x ∈ (0, π)
Mathematik III
Punktweise Konvergenz Fourierreihe
(
−1, x ∈ [−π, 0)
f (x) =
1, x ∈ [0, π)
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Mathematik III