Logik und Diskrete Strukturen

Hertrampf/Fleischer/Wächter
Wintersemester 2015/16
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 1
Abgabe: bis Fr. 23.10. 13:15 Uhr in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: 26.10.2015 06.11.2015
1.
Wahrheitstafeln
(4
Punkte )
Ergänzen Sie in dem nachfolgenden Ausschnitt von Wahrheitstafeln alle fehlenden Einträge.
A
0
0
1
1
B C
0 0
1 0
0 1
1 1
0
0
1
¬A ∨ ¬C A → B (A ↔ B) → ¬C
0
1
0
1
2.
Belegungen und Modelle
(4
Punkte )
Finden Sie für die folgenden Formeln je eine passende Belegung, die die Formel erfüllt,
und eine, die die Formel
nicht
erfüllt. Geben Sie auÿerdem für jede der Formeln ihren
Syntaxbaum an.
3.
a)
(((A ∨ ¬B) ∨ C) ∨ ¬D)
b)
(¬A ∧ (B ∧ (¬C ∧ D)))
c)
¬(¬(¬A ∨ B) ∧ ¬C)
d)
(((¬A ∨ B) ∧ (¬B ∨ C)) ∧ ((¬C ∨ D) ∧ (¬D ∨ A)))
Anzahl minimaler Modelle
Für
n≥2
sei die Formel
(6
Fn
Punkte )
deniert durch
Fn =
n−1
^
(Ai → Ai+1 ).
i=1
minimales Modell
A : {A1 , A2 , . . . , An } → {0, 1} mit A |= F .
In einem minimalen Modell werden also nur die in Fn vorkommenden atomaren Formeln
mit Wahrheitswerten belegt. Wieviele minimale Modelle für Fn gibt es? Beweisen Sie Ihre
Ein
für
Fn
ist eine Belegung
Antwort.
4.
Unerfüllbarkeit und Gültigkeit
Angenommen, Sie haben einen Algorithmus
genlogischen Formel
einem Algorithmus
(4
A
Punkte )
zur Verfügung, der auf Eingabe einer aussa-
F ausgibt, ob F erfüllbar oder unerfüllbar ist. Konstruieren Sie daraus
B , der auf Eingabe einer aussagenlogischen Formel F ausgibt, ob F
gültig oder nicht gültig ist.
5.
Syntax und Semantik
(8
In dieser Aufgabe denieren wir
-Terme.
Diese sind induktiv deniert:
•
Eine
Variable xi mit i ∈ N ist ein -Term.
•
Sind
t1
und
t2 -Terme,
Hierbei bezeichnet
so ist auch
N = {0, 1, . . . }
Punkte )
(t1 t2 )
ein
-Term.
die Menge der natürlichen Zahlen.
-Termem kann man analog zur Aussagenlogik Syntaxbäume denieren. Die Blätter sind
dabei mit Variablen beschriftet und die inneren Knoten mit .
Zu
-Terme?
a) Welche der folgenden Ausdrücke sind
Geben Sie für die Ausdrücke, die
-
Terme sind, jeweils ihren Syntaxbaum an und begründen Sie bei den anderen Ausdrücken, warum es sich nicht um
(i)
(ii)
Sei
t
x7
(x1 + x42 )
(iii)
(iv)
-Terme
handelt.
(A ∧ B)
(x1 x2 x3 )
(v)
(vi)
(x1 (x2 x3 ))
((x1 x2 ) (x1 x2 ))
-Term und X eine Obermenge der in t vorkommenden Variablen. Dann heiÿt ein
A = (U, f, X ), bestehend aus einer Menge U , einer Funktion f : U × U → U und
weiteren Funktion X : X → U , zu t passende Belegung.
ein
Tripel
einer
Ist
A = (U, f, X ) eine zu einem -Term t in den Variablen X passende Belegung,
t unter A induktiv deniert als
(
X (xi )
falls t = xi für ein i ∈ {0, 1, 2, . . . }
A(t) =
f (A(t1 ), A(t2 )) falls t = (t1 t2 ) für -Terme t1 und t2 .
so ist der
Wert von
-Terme t1 = ((x1 x2 ) x3 )
X = {x1 , x2 , x3 }.
b) Gegeben seien die
Variablen
und
t2 = (x1 (x2 x3 ))
in den
A = (N, +, X ), wobei + : N × N → N die Addition auf den natürlichen Zahlen
bezeichne und X deniert sei über: X (x1 ) = 1, X (x2 ) = 42 und X (x3 ) = 7.
Berechnen Sie A(t1 ) und A(t2 ).
Sei B = (N, f, Y), wobei f über
(i) Sei
(ii)
f :N×N→N
(n, m) 7→ nm
und
Y
über
Y(x1 ) = 2,
deniert sei. Berechnen Sie
(iii) Sei
Y(x2 ) = 1
B(t1 )
U = {∅, {∅}, {1}, {∅, 1}}
und
Y(x3 ) = 2
und
B(t2 ).
C = (U, g, Z),
und
wobei
g
über
g :U ×U →U
(A, B) 7→ A ∪ B
und
Z
über
Z(x1 ) = ∅,
deniert sei. Berechnen Sie
c)
Bonusaufgabe :
Zeigen Sie: Sind
und zu
t2
Z(x2 ) = {∅}
C(t1 )
und
und
Z(x3 ) = {1}
C(t2 ).
(4
t1
und
t2
(syntaktisch) verschiedene
passende Belegung
A
sodass
A(t1 ) 6= A(t2 ).
-Terme,
Zusatzpunkte )
so existiert eine zu
t1
Hinweise zum Ablauf der Übungen:
•
Die Anmeldung zu den Übungen erfolgt über die Webseite
https://eclaus.informatik.uni-stuttgart.de
Login:
Passwort:
luds15
löwenheim
Die Freischaltung der Anmeldeseite erfolgt am Donnerstag, den 15.10. um 16:55 Uhr.
Bitte melden Sie sich bis spätestens Freitag, den 23.10. um 13:15 Uhr an.
•
Jedes Blatt enthält schriftliche Aufgaben. Zu jeder Aufgabe ist die Anzahl der maximal
erreichbaren Punkte angegeben. Ihre Lösung der schriftlichen Aufgaben geben Sie bitte
in leserlicher Form in den Abgabekästen im 1. OG (gegenüber von Raum 1.024) ab.
Vergessen Sie nicht, Ihre Abgabe mit Ihrem Namen, dem Namen Ihres Tutors
der Gruppennummer
und
zu kennzeichnen. Falls Sie mehrere Blätter abgeben, heften Sie
diese zusammen. Die Abgaben sind Gruppenabgaben (der Gröÿe kleiner gleich 3) oensichtlich abgeschriebene Lösungen werden mit 0 Punkten bewertet.
•
Jede zweite Woche (im Wechsel zu den schriftlichen Abgaben) gibt es MC-Tests im
eClaus. Die Besprechung der MC-Tests ndet in den Ergänzungen statt.
•
In der letzten Vorlesungswoche wird es eine Scheinklausur geben.
•
Einen Schein erhält, wer die Scheinklausur besteht, mindestens 50% der Punkte der
schriftlichen Abgaben und 50% in den MC-Tests erreicht sowie eine regelmäÿige und
aktive Teilnahme in den Übungsgruppen zeigt (Anwesenheit, mindestens zweimal vorrechnen).
•
Wer einen benoteten Schein benötigt, sollte sich möglichst umgehend bei den Übungsleitern melden.
•
Um an der Modulprüfung Theoretische Grundlagen der Informatik teilzunehmen,
benötigen Sie einen Übungsschein in Logik und diskrete Strukturen oder in Formale Sprachen und Automatentheorie (2. Semester). Um an der Modulprüfung Logik
und diskrete Strukturen teilzunehmen, benötigen Sie den Übungsschein in Logik und
diskrete Strukturen.
•
Informationen
zur
Vorlesung
und
den
Übungen
nden
http://www.fmi.uni-stuttgart.de/ti/lehre/ws15/lds/
sich
auf
der
Homepage: