Das Zahlenbeispiel

Logik und Diskrete Strukturen
Einheit 19
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Das Zahlenbeispiel
Wir betrachten die Formel
F = ∀x P(x, f (x)) ∧ Q(g (a, z))
Grundbereich sei N, P sei die <-Relation, Q die Primzahleigenschaft,
f die Nachfolgerfunktion auf N, g die Addition, a die Konstante 2,
d.h. a ist eine nullstellige Funktion mit dem Wert 2.
Schließlich geben wir der Variablen z den Wert 3.
Wie ermitteln wir die Bedeutung der Formel F ?
Mit der gegebenen Struktur haben wir die folgende Interpretation:
Für alle Zahlen x gilt: x < x + 1, und die Summe von a und z ist eine Primzahl.
Ist F wahr?
Winter 2015/16
x < x + 1 ist richtig. Die Summe von 2 und 3 ist eine Primzahl.
Also ist die Formel unter der gegebenen Interpretation wahr.
– Folie 19.1 –
25.11.2015
Logik und Diskrete Strukturen
Einheit 19
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Das abstrakte Beispiel
Wir gehen von einer gegebenen Formel aus – beispielsweise von
der auf der letzten Folie. Nun bilden wir UA aus allen Termen,
die man mit den beteiligten Funktionen bilden kann, ohne
Variablen zu benutzen:
{a, (f (a), f (f (a)), f (f (f (a))), . . . , g (a, a), g (f (a), a), f (g (a, a)), . . . }
Hier haben wir also die nullstellige Funktion a, die einstellige
Funktion f und die zweistellige Funktion g benutzt.
In a kann nichts eingesetzt werden.
In f kann bzw. muss man jeweils einen vorher gebildeten Term einsetzen.
In g werden jeweils zwei vorher gebildete Terme eingesetzt.
Wir brauchen also eine induktive Definition!
Winter 2015/16
– Folie 19.2 –
25.11.2015
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Das abstrakte Beispiel (Forts.)
Induktive Definition von UA :
Alle vorkommenden nullstelligen Funktionen gehören zu UA .
Und wenn es keine gibt? – Dann a ∈ UA .
k
Wenn fi eine vorkommende k-stellige Funktion ist und
t1 , . . . , tk Elemente von UA sind, dann gehört auch
fi k (t1 , . . . , tk )
zu UA .
Wie definiert man dann IA ?
Jedes t ∈ UA ist gebildet worden wie ein Term, es liegt daher
nahe, für alle t ∈ UA zu definieren: IA (t) = t.
Man beachte: Das t auf der rechten Seite ist ein Element von UA , also
ein Individuum. Das t in der Klammer ist dagegen ein Term.
Winter 2015/16
– Folie 19.3 –
25.11.2015
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Passende Strukturen
Ähnlich wie in der Aussagenlogik passende Belegungen definiert
wurden, wollen wir jetzt festlegen, was eine passende Struktur für
eine gegebene prädikatenlogische Formel ist:
Die Struktur A = (UA , IA ) ist eine zu F passende Struktur,
falls IA jeder in F vorkommenden Variablen einen Wert aus
UA zuweist, jedem in F vorkommenden Prädikatsymbol Pik
ein k-stelliges Prädikat über UA , und jedem in F vorkommenden Funktionssymbol fi k eine k-stellige Funktion auf UA .
Winter 2015/16
– Folie 19.4 –
25.11.2015
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Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Erfüllbarkeit, Gültigkeit, Modell
Eine zu F passende Struktur A nennen wir ein Modell für F ,
wenn der Wahrheitswert der Formel in der Struktur A der
Wert 1 ist, d.h. wenn A(F ) = 1 gilt.
Man sagt dann auch F gilt in A und schreibt A |= F .
Eine prädikatenlogische Formel F heißt erfüllbar, wenn es
ein Modell für F gibt.
Man nennt eine prädikatenlogische Formel F allgemeingültig,
wenn alle zu F passenden Strukturen Modelle für F sind.
Dann schreiben wir |= F .
Wenn F nicht allgemeingültig ist, schreiben wir 6|= F .
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– Folie 19.5 –
25.11.2015
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Bemerkungen
• Abkürzungen wie → und ↔ wie bei Aussagenlogik.
• F gültig gdw. ¬F unerfüllbar wie bei Aussagenlogik.
• Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Aussagenlogik als
Teil der Prädikatenlogik aufzufassen:
z.B. nur nullstellige Prädikatsymbole, oder
nur Formeln ohne Variablen.
• KNF und DNF für Formeln ohne Quantoren wie zuvor.
(Allgemein: KNF und DNF für Matrix der Formel F .)
• Keine Quantifizierung über Funktionen oder Prädikate.
(Dafür braucht man Prädikatenlogik zweiter Stufe.)
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– Folie 19.6 –
25.11.2015