Normalformen

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Normalformen
Normalformen sind im Allgemeinen nicht gleich mit den
gegebenen Ausgangsformeln; also brauchen wir auch hier, wie
in der Aussagenlogik, einen Äquivalenzbegriff. Wir definieren
die Äquivalenz ganz ähnlich wie vorher:
Die prädikatenlogischen Formeln F und G sind äquivalent,
in Zeichen F ≡ G , falls für alle Strukturen A, die sowohl
zu F als auch zu G passen, gilt: A(F ) = A(G ).
Die Äquivalenzen, die wir bei der Aussagenlogik gezeigt haben,
gelten hier weiterhin, ebenso das Ersetzbarkeitstheorem.
Im Induktionsbeweis sind allerdings jeweils die Fälle mit Quantoren zu ergänzen.
Für das Ersetzbarkeitstheorem also:
F ≡ G =⇒ ∀x F ≡ ∀x G
und:
F ≡ G =⇒ ∃x F ≡ ∃x G .
Einheit 19
– Folie 19.1 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Weitere Äquivalenzen
Satz: Für prädikatenlogische Formeln F und G gelten die
folgenden Äquivalenzen:
¬∀x F ≡ ∃x ¬F
1.
2.
und
¬∃x F ≡ ∀x ¬F
Wenn x nicht als freie Variable in G vorkommt:
(∀x F ∧ G ) ≡ ∀x (F ∧ G )
(∀x F ∨ G ) ≡ ∀x (F ∨ G )
(∃x F ∧ G ) ≡ ∃x (F ∧ G )
(∃x F ∨ G ) ≡ ∃x (F ∨ G )
3. (∀xF ∧ ∀xG ) ≡ ∀x(F ∧ G )
(∃xF ∨ ∃xG ) ≡ ∃x(F ∨ G )
4. ∀x∀y F ≡ ∀y ∀xF
und
∃x∃y F ≡ ∃y ∃xF
Die Beweise sind alle recht einfach und bleiben dem interessierten Hörer überlassen.
Einheit 19
– Folie 19.2 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Substitutionen/Übung 58
Eine Substitution ersetzt in einer Formel (oder in einem Term)
jedes freie Vorkommen einer gegebenen Variablen durch einen
bestimmten Term. Sei z.B. F = (P(x, y ) ∧ ∀x Q(x)), und eine
Substitution gegeben durch [x/f (y , x)]. Dann erhalten wir:
F [x/f (y , x)] = (P(f (y , x), y ) ∧ ∀x Q(x))
Der hintere Teil bleibt unverändert, da das dortige Vorkommen von x nicht frei ist!
Substitutionen können hintereinandergeschaltet werden:
F ([x1 /t1 ][x2 /t2 ]) := (F [x1 /t1 ])[x2 /t2 ]
Wir schreiben dann einfach F [x1 /t1 ][x2 /t2 ].
Der folgende Zusammenhang zwischen F [x/t] und A[x/A(t)]
ist zu zeigen:
A(F [x/t]) = A[x/A(t)] (F )
Hierbei soll t keine in F gebunden vorkommende Variable enthalten.
Einheit 19
– Folie 19.3 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Umbenennung
Wir haben das Ziel, gebundene Variablen immer eindeutig zu
benennen. Das erreichen wir, indem wir eine in der bearbeiteten
Formel nicht vorkommende Variable durch Substitution die Rolle
der ursprünglich benutzten gebundenen Variablen übernehmen
lassen:
Lemma: Wenn y in G nicht vorkommt, gilt
∀x G ≡ ∀y G [x/y ] und ∃x G ≡ ∃y G [x/y ].
Beweis:
Der Wahrheitswert von ∀x G ist festgelegt in Abhängigkeit der Werte von
G [x/α] für alle α ∈ UA . Der von ∀y G [x/y ] wiederum bezieht sich auf die
Werte von G [x/y ][y /α] für alle α ∈ UA . Aber, da y in G nicht vorkommt,
gilt offensichtlich die Gleichheit G [x/α] = G [x/y ][y /α].
Einheit 19
– Folie 19.4 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Bereinigte Form
Wir sagen, dass die Formel F in bereinigter Form vorliegt, wenn
• keine Variable sowohl frei als auch gebunden vorkommt
und
• alle Quantoren mit verschiedenen Variablen gebildet sind.
Lemma:
Zu jeder Formel F gibt es eine Formel G in
bereinigter Form mit
F ≡ G.
Beweis:
Wir müssen nur sukzessive alle gebundenen Variablen mit einem eindeutigen
Namen versehen (durch Umbenennung). Damit sind alle Bedingungen der
bereinigten Form erfüllt.
Einheit 19
– Folie 19.5 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Pränexform: Definition und Satz
Eine Formel heißt in Pränexform oder auch kurz pränex, wenn
sie aus einem Block von Quantoren (mit den zugehörigen Variablen)
gefolgt von einer Formel ohne Quantoren besteht.
Beispiel für eine Formel in Pränexform:
∃x∀y ∀z∃w (P(x, y ) ∧ Q(f (z, w , x))))
Satz: Sei F eine Formel. Dann gibt es eine bereinigte
Formel G in Pränexform, so dass gilt: F ≡ G .
Der Beweis ist einfach per Induktion über den Formelaufbau zu führen.
Einheit 19
– Folie 19.6 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Skolemform: Definition
F sei eine Formel in BPF (bereinigte Pränexform). Die zugehörige Skolemformel
oder Skolemform ist das Ergebnis des folgenden Vorgangs:
Solange F einen Existenzquantor enthält:
Betrachte den ersten, etwa ∃z. Dann ist F
von der Form F = ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn ∃z G
Nimm ein neues n-stelliges Funktionssymbol f
und ersetze F durch die neue Formel F mit
F = ∀y1 ∀y2 . . . ∀yn G [z/f (y1 , . . . , yn )]
Als Beispiel betrachten wir die Formel F = ∃x∀y ∃z∀u∃v P(x, y , z, u, v ).
Als Skolemform erhalten wir hier ∀y ∀u P(a, y , g (y ), u, f (y , u)).
Bitte nachrechnen!
Einheit 19
– Folie 19.7 –
18.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Erfüllbarkeitsäquivalenz der Skolemformel
Den folgenden Satz geben wir ohne Beweis an:
Satz: Sei F eine Formel in BPF. Dann ist F erfüllbar genau
dann, wenn die Skolemformel von F erfüllbar ist.
Achtung:
Im allgemeinen ist die Formel F nicht äquivalent zu
ihrer Skolemform. Die in obigem Satz zum Ausdruck
kommende Beziehung nennt man
Erfüllbarkeitsäquivalenz.
Zum besseren Verständnis sollte sich jeder Teilnehmer einmal ein Beispiel konstruieren,
bei dem die ursprüngliche Formel F und ihre Skolemform nicht äuqivalent sind.
Einheit 19
– Folie 19.8 –
18.05.2017