1.2 Äquivalenz und Normalformen

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
1.2 Äquivalenz und Normalformen
Es gibt oft Formeln, die syntaktisch verschieden sind, aber das
gleiche bedeuten sollen – Beispiele liegen auf der Hand – in
solchen Fällen spricht man von semantischer Äquivalenz:
Definition: F und G heißen semantisch äquivalent, wenn für
alle zu beiden passenden Belegungen A gilt:
A(F ) = A(G ). In diesem Fall schreiben wir F ≡ G .
Wir nennen dann oft auch F und G einfach äquivalent.
Einheit 5
– Folie 5.1 –
25.04.2017
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Beispiele
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Zum Beweis kann man eine Wahrheitstafel benutzen.
(A ∨ ¬A) ≡ (B ∨ (C ∨ (¬B ∧ ¬C )))
Bitte überprüfen!
Die folgenden Äquivalenzen gelten für jede Formel F :
¬¬F ≡ F
F ≡ (F ∨ F )
F ≡ (F ∧ F )
Wie kann man das zeigen?
Einheit 5
– Folie 5.2 –
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Das Ersetzbarkeitstheorem
Satz: Sei H eine Formel, in der F als Teilformel vorkommt,
sei G eine zu F äquivalente Formel, und sei H 0 die
Formel, die aus H entsteht, wenn F durch G ersetzt
wird. Dann sind H und H 0 äquivalent.
Den Beweis führen wir durch Induktion über den Aufbau von H.
Dabei beachten wir, dass die Aussage für F = H trivial ist, weil
dann ja G = H 0 gilt und somit selbstverständlich auch H ≡ H 0 .
Induktionsanfang:
H sei eine atomare Formel, d.h. H = Ai .
Also muss H = F und damit H 0 = G gelten, d.h. H ≡ H 0 .
Einheit 5
– Folie 5.3 –
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Beweis des Satzes (1)
Induktionsschritt:
Im Induktionsschritt gehen wir generell von F 6= H aus,
den Fall F = H haben wir ja schon abgehakt.
Wenn H = ¬H1 für eine Formel H1 gilt, schließt man wie folgt:
F ist eine Teilformel von H1 .
Die Ersetzung von F in H1 ergibt eine äquivalente Formel H10 .
Die Ersetzung von F in H ergibt folglich H 0 = ¬H10 .
Aber wegen H1 ≡ H10 folgt unmittelbar auch
H = ¬H1 ≡ ¬H10 = H 0 .
Einheit 5
– Folie 5.4 –
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Beweis des Satzes (2)
Wenn H = (H1 ∧ H2 ) für Formeln H1 , H2 gilt:
Jetzt muss F entweder eine Teilformel von H1 oder von H2 sein.
Falls F eine Teilformel von H1 ist, dann ist nach Induktionsvoraussetzung H1 ≡ H10 , wobei H10 aus H1 entsteht, wenn
F durch G ersetzt wird. Nun folgt
H = (H1 ∧ H2 ) ≡ (H10 ∧ H2 ) = H 0
(Die Äquivalenz in der Mitte sieht man durch Vergleich der Wahrheitswerte)
Falls F eine Teilformel von H2 ist, erhält man ebenso
H = (H1 ∧ H2 ) ≡ (H1 ∧ H20 ) = H 0
Einheit 5
– Folie 5.5 –
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Beweis des Satzes (3)
Wenn H = (H1 ∨ H2 ) für Formeln H1 , H2 gilt:
Wieder ist F entweder eine Teilformel von H1 oder von H2 .
Falls F eine Teilformel von H1 ist, dann ist nach Induktionsvoraussetzung H1 ≡ H10 , wobei H10 aus H1 entsteht, wenn
F durch G ersetzt wird. Es folgt
H = (H1 ∨ H2 ) ≡ (H10 ∨ H2 ) = H 0
Sollte aber F Teilformel von H2 sein, so erhält man ebenso
H = (H1 ∨ H2 ) ≡ (H1 ∨ H20 ) = H 0
Einheit 5
– Folie 5.6 –
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