Äquivalenzen

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Äquivalenzen
Idempotenz:
Kommutativität:
Assoziativität:
F ≡ (F ∧ F ) ≡ (F ∨ F )
Absorption:
Distributivität:
(F ∧ (F ∨ G )) ≡ F ≡ (F ∨ (F ∧ G ))
Doppelnegation:
deMorgan-Regeln:
Tautologie:
¬¬F ≡ F
Unerfüllbarkeit:
Falls F unerfüllbar ist, gelten folgende Äquivalenzen:
(F ∨ G ) ≡ G
(F ∧ G ) ≡ F
Einheit 6
(F ∧ G ) ≡ (G ∧ F )
(F ∨ G ) ≡ (G ∨ F )
((F ∧ G ) ∧ H) ≡ (F ∧ (G ∧ H))
((F ∨ G ) ∨ H) ≡ (F ∨ (G ∨ H))
(F ∧ (G ∨ H)) ≡ ((F ∧ G ) ∨ (F ∧ H))
(F ∨ (G ∧ H)) ≡ ((F ∨ G ) ∧ (F ∨ H))
¬(F ∧ G ) ≡ (¬F ∨ ¬G )
¬(F ∨ G ) ≡ (¬F ∧ ¬G )
Falls F eine Tautologie ist, gelten folgende Äquivalenzen:
(F ∨ G ) ≡ F
(F ∧ G ) ≡ G
– Folie 6.1 –
27.04.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Beweise zu den Äquivalenzen
Zur Idempotenz:
Zur Kommutativität:
A(F ∧ F ) = min(A(F ), A(F )) = A(F ), ∨ analog
Zur Assoziativität:
A((F ∧ G ) ∧ H) = min(min(A(F ), A(G )), A(H))
= min(A(F ), A(G ), A(H)) und
A(F ∧ (G ∧ H)) = min(A(F ), min(A(G ), A(H)))
= min(A(F ), A(G ), A(H)), ∨ analog
Zur Absorption:
Am einfachsten mit Fallunterscheidung, je nachdem, ob
A(F ) = A(G ) oder A(F ) < A(G ) oder A(F ) > A(G ).
Zur Distributivität:
Unterscheide zwischen A(F ) = 1 und A(F ) = 0.
Im 1. Fall gilt A(F ∧ (G ∨ H)) = A(G ∨ H) und außerdem
A(F ∧ G ) = A(G ), A(F ∧ H) = A(H), daraus die Beh.
Im 2. Fall gilt A(F ∧ (G ∨ H)) = 0 und außerdem
A(F ∧ G ) = 0, A(F ∧ H) = 0, und wieder daraus die Beh.
Zur Doppelnegation:
A(¬¬F ) = 1 − A(¬F ) = 1 − (1 − A(F )) = A(F )
Einheit 6
A(F ∧ G ) = min(A(F ), A(G ))
= min(A(G ), A(F )) = A(G ∧ F ), ∨ analog
– Folie 6.2 –
27.04.2017
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Die übrigen Beweise zu den Äquivalenzen
deMorgan-Regeln:
A(¬(F ∧ G )) = 1 − A(F ∧ G ) = 1 − min(A(F ), A(G ))
= max(1 − A(F ), 1 − A(G )) = max(A(¬F ), A(¬G ))
= A(¬F ∨ ¬G ),
analog für die 2. Regel
Tautologie:
Es gelte A(F ) = 1 für alle passenden Belegungen A.
Dann folgt A(F ∨ G ) = max(A(F ), A(G )) = 1 = A(F ),
also (F ∨ G ) ≡ F . Andererseits gilt aber auch
A(F ∧ G ) = min(A(F ), A(G )) = A(G ), und
damit (F ∧ G ) ≡ G .
Unerfüllbarkeit:
Jetzt ist A(F ) = 0 für alle passenden Belegungen A.
Dann folgt A(F ∨ G ) = max(A(F ), A(G )) = A(G ),
also (F ∨ G ) ≡ G . Andererseits gilt aber auch
A(F ∧ G ) = min(A(F ), A(G )) = 0 = A(F ), und
damit (F ∧ G ) ≡ F .
Einheit 6
– Folie 6.3 –
27.04.2017
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Ein Beispiel
Behauptung: (((A ∧ B) ∧ C ) ∨ (C ∧ ¬A)) ≡ ((B ∨ ¬A) ∧ C )
(((A ∧ B) ∧ C ) ∨ (C ∧ ¬A))
≡ ((C ∧ (A ∧ B)) ∨ (C ∧ ¬A))
≡ (C ∧ ((A ∧ B) ∨ ¬A))
≡ (C ∧ (¬A ∨ (A ∧ B)))
≡ (C ∧ ((¬A ∨ A) ∧ (¬A ∨ B)))
≡ (((¬A ∨ A) ∧ (¬A ∨ B)) ∧ C )
≡ ((¬A ∨ B) ∧ C )
≡ ((B ∨ ¬A) ∧ C )
Einheit 6
Kommutativität und Ersetzbarkeitssatz
1. Distributivgesetz
Kommutativität und Ersetzbarkeitssatz
2. Distributivgesetz und Ersetzbarkeitssatz
Kommutativgesetz
Tautologie und Ersetzbarkeitssatz
Kommutativität und Ersetzbarkeitssatz
– Folie 6.4 –
27.04.2017
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Assoziativität und Klammerung
Im Allgemeinen geht es uns bei Formeln um deren Bedeutung,
und nicht so sehr um die syntaktische Form.
Daher kann man sich normalerweise erlauben,
Klammerungen bei zusammengesetzten ∧ oder ∨
Formeln (bzw. Teilformeln) einfach wegzulassen.
Beispiel:
Wir schreiben A ∨ B ∨ C sowohl für ((A ∨ B) ∨ C )
als auch für (A ∨ (B ∨ C )).
Achtung:
Nicht zu großzügig Klammern weglassen!
Was wäre z.B. mit A ∧ B ∨ C ?
Einheit 6
– Folie 6.5 –
27.04.2017
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Übung 15
Zeige, dass man jede Formel äquivalent in eine neue Formel
umwandeln kann, die nur die Operatoren ¬ und → verwendet.
Zum Beweis muss man nur prüfen, dass F ∨ G äquivalent ist zu
¬F → G , sowie, dass F ∧ G äquivalent ist zu ¬(F → ¬G ).
Bitte nachprüfen !!
Zeige, dass das nicht geht, wenn man nur die Operatoren
∧, ∨ und → zulässt.
Zum Beweis prüft man folgendes:
Wenn A eine Belegung ist, die alle atomaren Formeln aus ihrem
Definitionsbereich mit dem Wert 1 belegt, dann haben auch alle
nur aus ∧, ∨ und → gebildeten Formeln den Wert 1.
Die Formel ¬A kann dann offenbar nicht gebildet werden!
Einheit 6
– Folie 6.6 –
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