M sei eine erfüllbare unendliche Formelmenge. In keiner der

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Übung 24
M sei eine erfüllbare unendliche Formelmenge. In keiner der
Formeln aus M komme die atomare Formel A723 vor.
Die Belegung A sei so definiert, wie im Beweis des
Endlichkeitssatzes angegeben. Wir nehmen an, dass jede
Belegung Ai den Wert Ai (A723 ) undefiniert lässt.
Welchen Wert bekommt man als A(A723 )?
Da die Abfrage, ob es unendlich viele der Teilbelegungen gibt, die
die gegebene atomare Formel mit dem Wert 1 belegen, immer die
Antwort NEIN ergeben muss, wird in der nachfolgenden Zeile der
Definition der Wert 0 festgelegt. Also A(A723 ) = 0.
Einheit 11
– Folie 11.1 –
04.05.2017
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Übung 25
Beweise unter Verwendung des Endlichkeitssatzes:
Die unendliche Formelmenge {F1 , F2 , F3 , . . . } ist erfüllbar
genau dann, wenn für unendlich viele n die Formel
n
V
Fi
i=1
erfüllbar ist.
Wenn die Belegung A alle Fi erfüllt, dann ist mit der Belegung A auch die
gegebene n-fache Konjunktion für jedes n erfüllt. Zur Umkehrung:
Jede endliche Teilmenge M der Menge {F1 , F2 , F3 , . . . } ist in einer der unendlich
n
V
vielen Teilmengen {F1 , . . . , Fn } enthalten, für die
Fi erfüllbar ist.
i=1
Wie schon früher gezeigt, ist dann die Menge {F1 , . . . , Fn } erfüllbar, und damit auch
die Teilmenge M. Also zeigt der Endlichkeitssatz, dass {F1 , F2 , F3 , . . . } erfüllbar ist.
Einheit 11
– Folie 11.2 –
04.05.2017
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Übung 27
Gegeben sei die unendliche Menge L ⊂ N, wobei wir davon
ausgehen, dass Elemente von L in Binärdarstellung vorliegen.
Man zeige, dass eine unendliche Folge w1 , w2 , w3 , . . . natürlicher
Zahlen in Binärdarstellung existiert, so dass jedes neue wi eine
Verlängerung von wi−1 ist und in L eine Verlängerung für
jedes wi existiert.
Als Verlängerung eines Wortes u bezeichnen wir ein Wort w , für das es ein
nichtleeres Wort v gibt, so dass w = uv gilt.
Die Lösung der Aufgabe ähnelt dem Beweis des Endlichkeitssatzes.
Auch hier ergänzen wir Schritt für Schritt eine Anfangslösung so
jeweils um ein Bit, dass immer noch eine unendliche Teilmenge
von L für die Erfüllung der weiteren Bedingungen übrigbleibt.
Einheit 11
– Folie 11.3 –
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Übung 27, Fortsetzung
Wir starten mit w1 = ε, also dem leeren Wort und setzen X = L.
Nun gehen wir induktiv davon aus, dass es schon eine endliche
Folge w1 , w2 , . . . , wn gibt, die alle Bedingungen erfüllt, und
dass X immer noch eine unendliche Teilmenge von L ist, so dass
alle Elemente in X Verlängerungen aller wi (i = 1, . . . , n) sind.
In X können nur endlich viele Elemente sein, die nicht länger
als wn sind. Diese entfernen wir aus X , das dennoch eine unendliche Menge bleibt. Alle Elemente von X beginnen nun entweder
mit wn 0 oder mit wn 1. Falls unendlich viele Elemente in X mit
wn 0 beginnen, setzen wir wn+1 = wn 0 und streichen aus X alle
Wörter, die mit wn 1 beginnen. Wenn nur endlich viele Elemente
in X mit wn 0 beginnen, setzen wir wn+1 = wn 1 und streichen
aus X alle Wörter, die mit wn 0 beginnen.
Man kann leicht prüfen, dass damit alle Bedingungen erfüllt bleiben.
Einheit 11
– Folie 11.4 –
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Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Vorschau: Resolution
In den nächsten Einheiten werden wir uns mit einem Verfahren
beschäftigen, um die (Un-) Erfüllbarkeit einer eingegebenen
logischen Formel nachzuweisen.
Dieses Verfahren, das den Namen Resolution trägt, kann indirekt
auch zur Lösung vieler anderer Fragestellungen benutzt werden.
Die Grundtechnik ist die Resolution zweier Klauseln:
Will man zum Beispiel sowohl die Klausel (A ∨ B ∨ ¬D), als auch
die Klausel (C ∨ ¬A) erfüllen, so muss man sicher auch die
Disjunktion (B ∨ ¬D ∨ C ) erfüllen. Warum?
Man kann also sagen, dass es nicht schadet, wenn man zu diesen beiden (und
eventuell noch weiteren vorhandenen Klauseln) die neue Klausel einfach dazu nimmt.
Schritte dieser Art wiederholt man nun solange, bis keine neuen Klauseln mehr auf
diese Weise gefunden werden können.
04.05.2017
Einheit 11
– Folie 11.5 –
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Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Vorschau: Resolution (2)
Die Details werden wir nächste Woche eingehend untersuchen.
Bitte bereiten Sie zumindest die ersten 6 bis 7 Seiten
des Abschnitts 1.5 im Buch von Schöning gut vor.
Sie sollten dabei bis zu dem Algorithmus kommen,
der die Resolution implementiert!
(In der 5. Auflage auf Seiten 42/43...)
Einheit 11
– Folie 11.6 –
04.05.2017