1.1 Grundbegriffe

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
1.1 Grundbegriffe
Beispiele: Paris und Mäuse / Otto und der Arzt / ...
Definition: Syntax der Aussagenlogik
1) Atomare Formeln (Ai , i = 1, 2, 3, . . . ) sind Formeln.
2) Falls F und G Formeln, dann auch (F ∧ G ) und (F ∨ G ).
3) Wenn F eine Formel ist, dann auch ¬F .
Namen: Negation, Konjunktion, Disjunktion, Teilformel
Was ist eine Teilformel?
Wenn Ai die Formel ist, dann ist Ai ihre einzige Teilformel.
Nun induktiv weiter machen.
Einheit 1
– Folie 1.1 –
13.04.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Abkürzungen
Namen ohne Index
Meistens A, B, C , . . . für A1 , A2 , A3 , . . .
Implikation F1 → F2
steht für (¬F1 ∨ F2 )
Äquivalenz F1 ↔ F2
n
W
Fi
n-faches Oder
für ((F1 ∧ F2 ) ∨ (¬F1 ∧ ¬F2 ))
n-faches Und
i=1
n
V
Fi
steht für (. . . ((F1 ∨ F2 ) ∨ F3 ) · · · ∨ Fn )
steht für (. . . ((F1 ∧ F2 ) ∧ F3 ) · · · ∧ Fn )
i=1
Frage:
Was bedeutet B ↔ (C → E ) ?
Antwort:
((A2 ∧ (¬A3 ∨ A5 )) ∨ (¬A2 ∧ ¬(¬A3 ∨ A5 )))
Beachte: Bis hierhin war alles rein syntaktisch . . .
Einheit 1
– Folie 1.2 –
13.04.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
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Semantik der Aussagenlogik
Was ist eine Belegung?
D sei eine (meistens endliche) Teilmenge von {A1 , A2 , A3 , . . . }.
Eine Abbildung A : D → {0, 1} heißt Belegung.
Durch eine Belegung erhält jede atomare Formel einen Wert.
Jetzt wollen wir auch allen anderen Formeln einen Wert zuordnen.
Dabei nutzen wir die induktive Definition der Formeln aus:
Induktionsanfang
Der Wert einer atomaren Formel Ai ist genau dann definiert,
wenn Ai ∈ D gilt, und er ist dann A(Ai ).
Einheit 1
– Folie 1.3 –
13.04.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
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Semantik der Aussagenlogik, Forts.
Induktionsschritt
Wir nehmen an, dass A(F ) und A(G ) definiert sind.
Jetzt definieren wir A(F ∧ G ), A(F ∨ G ) und A(¬F ):
a) A(F ∧ G ) sei das Minimum von A(F ) und A(G ).
In anderen Worten:
A(F ∧ G ) = 1 gdw. A(F ) = 1 und A(G ) = 1.
b) A(F ∨ G ) sei das Maximum von A(F ) und A(G ).
In anderen Worten:
A(F ∨ G ) = 1 gdw. A(F ) = 1 oder A(G ) = 1.
c) A(¬F ) sei definiert durch A(¬F ) = 1 − A(F ).
In anderen Worten:
A(¬F ) = 1 gdw. A(F ) = 0, also nicht 1.
Als Beispiel berechnen wir an der Tafel A(B ↔ (C → E )) für die Belegung A mit
D = {A1 , . . . , A5 } und A(A1 ) = A(A3 ) = 0, A(A2 ) = A(A4 ) = A(A5 ) = 1.
13.04.2017
Einheit 1
– Folie 1.4 –
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Verknüpfungstafeln
Wir wollen ∧, ∨ und ¬ in Tabellen beschreiben:
A(F ) A(G ) A(F ∧ G )
0
0
1
1
Einheit 1
0
1
0
1
A(F ) A(G ) A(F ∨ G )
0
0
0
1
0
0
1
1
A(F )
A(¬F )
0
1
1
0
– Folie 1.5 –
0
1
0
1
0
1
1
1
13.04.2017
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Verknüpfungstafeln, Forts.
Auch → und ↔ kann man mit Verknüpfungstafeln beschreiben:
A(F ) A(G ) A(F → G )
0
0
1
1
0
1
0
1
A(F ) A(G ) A(F ↔ G )
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
Kann man auch für eine Formel wie B ↔ (C → E )
eine solche Verknüpfungstafel konstruieren?
Einheit 1
– Folie 1.6 –
13.04.2017