Übung 2 (Schöning Seite 17)

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Übung 2 (Schöning Seite 17)
Wir suchen eine Formel F mit den atomaren Teilformeln A, B
und C , bei der jede Änderung eines Wertes A(A), A(B) oder
A(C ) eine Änderung von A(F ) zur Folge hat:
A(A) A(B) A(C )
0
0
0
0
1
1
1
1
Einheit 3
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1
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0
0
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1
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1
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1
A(F1 )
A(F0 )
1
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1
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1
1
0
0
1
1
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1
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0
1
– Folie 3.1 –
Zwei Möglichkeiten
zur Auswahl
Der Rest ergibt sich
zwangsläufig
20.04.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
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Das Spiegelungsprinzip
• Schönings Spiegelungsprinzip besagt, dass gültige Formeln
durch Negation zu unerfüllbaren Formeln werden.
• Die Umkehrung gilt auch!
• Dagegen werden erfüllbare, nicht gültige Formeln durch
Negation wieder zu erfüllbaren, nicht gültigen Formeln.
• Bild:
unerfüllbare
Formeln
¬
Tautologien
¬
Einheit 3
– Folie 3.2 –
20.04.2017
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Übung 3
Definition: Die Belegung A ist Modell für {F1 , . . . , Fk }, falls
A Modell für alle Fi (i = 1, . . . , k) ist.
Wir sagen, G ist Folgerung von F1 , . . . , Fk , falls für jede
Belegung A, die zu G und allen Fi passend ist, gilt:
Wenn A Modell für {F1 , . . . , Fk } ist, dann auch für G .
Behauptung: Die folgenden drei Aussagen sind äquivalent:
1. G ist eine Folgerung von F1 , . . . , Fk .
V
2. (( ki=1 Fi ) → G ) ist eine Tautologie.
V
3. (( ki=1 Fi ) ∧ ¬G ) ist unerfüllbar.
Wir führen den Beweis an der Tafel.
Einheit 3
– Folie 3.3 –
20.04.2017
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Wahrheitswerteverlauf
• Frage: Wovon hängt der Wahrheitswert von F
unter (passender) Belegung A ab?
• Antwort: NUR vom Wahrheitswert der atomaren Formeln in F .
Der formale Beweis kann wie gewohnt induktiv geführt werden:
Induktionsanfang: A(Ai ) hängt nur von A(Ai ) ab - klar!
Induktionsschritt: Bitte selbst versuchen!
• Daher: Erfüllbarkeit, Gültigkeit und ähnliche Eigenschaften
für F testbar, indem man Wahrheitstafeln erstellt!
• Wahrheitstafeln:
Spalten für A1 , . . . , An und F
Zeilen für Ai mit i = 1, . . . , 2n
Einheit 3
– Folie 3.4 –
Warum???
20.04.2017
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Beispiel
F1 sei die Formel A1 ↔ A2 . F2 sei die Formel A2 ↔ ¬A3 .
F3 sei die Formel A3 ↔ A4 . G sei die Formel ¬A1 → A4 .
Behauptung: G ist Folgerung von {F1 , F2 , F3 }.
Den Beweis kann man nach Übung 3 führen, indem man den Wahrheitswertverlauf
der Formel (((F1 ∧ F2 ) ∧ F3 ) → G ) ermittelt.
Diese Formel muss eine Tautologie sein, d.h. der Wert muss in allen Fällen 1 sein.
Alternativ kann man auch den Wahrheitswertverlauf der Formel
(((F1 ∧ F2 ) ∧ F3 ) ∧ ¬G ) ermitteln.
Diese Formel muss unerfüllbar sein, d.h. der Wert muss in allen Fällen 0 sein.
Einheit 3
– Folie 3.5 –
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Diskussion der Methode
• Die Wahrheitstafelmethode liefert uns eine Möglichkeit, algorithmisch eine Formel auf Erfüllbarkeit, Gültigkeit etc. zu testen.
• Problem: Die Größe der Tafel kann extrem sein !
(Wir haben keine Probleme, wenn es sich um Formeln mit
2, 3 oder 4 Variablen handelt. Aber wie sieht es aus, wenn
300 oder 7000 oder ... atomare Formeln im Spiel sind?)
• Stichworte für später:
NP-Vollständigkeit
Exponentialzeit
Einheit 3
– Folie 3.6 –
20.04.2017