Es gibt unübersichtlich viele mögliche Universen

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Herbrand-Theorie
Beim Versuch, Prädikatenlogik systematisch zu untersuchen,
ergibt sich ein großes Hindernis:
Es gibt unübersichtlich viele mögliche Universen.
Wir hätten deshalb gerne eine Art
Standarduniversum.
In Einheit 18 hatten wir als Beispiel für ein abstraktes Universum
schon unseren Kandidaten kennengelernt:
UA = {a, f (a), g (a, a), f (f (a)), f (g (a, a)), g (a, f (a)), g (f (a), a), g (f (a), f (a)), . . . }
Hierbei waren a (nullstellig), f (einstellig) und g (zweistellig) alle
in der Ausgangsformel vorkommenden Funktionssymbole.
Einheit 20
– Folie 20.1 –
23.05.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Herbrand-Universum
Wir starten immer mit einer Skolemformel F .
(Jede Formel kann erfüllbarkeitsäquivalent in eine solche umgeformt werden.)
Definition: • Jede in F vorkommende Konstante ist in D(F ).
• Falls keine Konstante vorkommt, ist a in D(F ).
• Für jedes in F vorkommende Funktionssymbol f
der Stelligkeit n und alle t1 , . . . , tn ∈ D(F ) ist
f (t1 , . . . , tn ) ein Element von D(F ).
In anderen Worten:
Die Menge D(F ) ist gebildet aus allen unausgerechneten variablenfreien
Termen, die mit den Symbolen aus F gebildet werden können.
Einheit 20
– Folie 20.2 –
23.05.2017
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Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Herbrand-Struktur
Eine Struktur A heißt Herbrand-Struktur (für F ), wenn
UA = D(F ) gilt und Funktionssymbole in der kanonischen
Weise interpretiert werden, d.h.
f A (t1 , . . . , tn ) = f (t1 , . . . , tn ).
Man beachte, dass hier links eine semantische Festlegung steht
(wie wirkt f in der Struktur A?) – die rechte Seite ist dagegen
einfach als syntaktisch definiertes Element f (. . . ) aus UA zu sehen.
Offen bleibt also nur die Interpretation der Prädikatsymbole.
Zur Erinnerung: Freie Variablen gibt es in einer Skolemformel nicht!
Einheit 20
– Folie 20.3 –
23.05.2017
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Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Herbrand-Modell
Als Beispiel betrachten wir die Skolemformel
∀x∀y ∀z P(x, f (y ), g (z, x))
Mit der Festlegung IA (P) = UA × UA × UA und dem
Herbrand-Universum UA von Folie 20.1 ist also die
angegebene Formel erfüllt.
Allgemein definieren wir:
Eine zu F passende Herbrand-Struktur, die ein Modell
für F ist, nennen wir ein
Herbrand-Modell
für F .
Einheit 20
– Folie 20.4 –
23.05.2017
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Erfüllbarkeit von Skolemformeln
Es gilt der folgende Satz:
Satz: Eine Aussage, die als Skolemformel F gegeben
ist, ist genau dann erfüllbar, wenn es für F ein
Herbrand-Modell gibt.
Beweis:
Die Richtung von rechts nach links ist trivial.
Für die Richtung von links nach rechts muss man eine
Induktion über den Aufbau der Formel führen.
Die Einzelheiten findet man im Buch von Schöning.
Einheit 20
– Folie 20.5 –
23.05.2017
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Satz von Löwenheim und Skolem
Der folgende Sachverhalt ist als Satz von Löwenheim und Skolem
bekannt:
Satz: Jede erfüllbare Formel F der Prädikatenlogik
hat ein abzählbares Modell.
Dieser Satz folgt ziemlich direkt aus dem vorherigen Satz
(Folie 20.5).
Einheit 20
– Folie 20.6 –
23.05.2017