Wir führen zunächst den Begriff der Struktur ein. Zweck der Struktur

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Semantik der Prädikatenlogik
Wir führen zunächst den Begriff der Struktur ein.
Zweck der Struktur ist es, den benutzten Variablen,
Funktionssymbolen und Prädikatsymbolen einen realen
Sinn zuzuordnen.
Hierfür benötigen wir sogenannte Individuen, also mögliche
Werte für die Variablen und Terme, sowie eine Zuordnung
der Funktions- und Prädikatsymbole zu realen Funktionen
und Prädikaten.
Die technische Realisierung dieser Ideen folgt auf der nächsten Folie.
Einheit 17
– Folie 17.1 –
16.05.2017
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Semantik der Prädikatenlogik (Forts.)
Prädikatenlogische Formeln werden mit Hilfe einer Struktur
wie folgt interpretiert:
Das Paar A nennen wir
eine Struktur.
• Gegeben ist ein Paar A = (UA , IA ).
• UA heißt Menge der Individuen.
• IA ist eine Abbildung, die jedem (in der Formel benutzten)
Prädikatsymbol Pik bzw. Funktionssymbol fi k ein dazu
passendes Prädikat bzw. eine passende Funktion zuordnet,
sowie jeder benutzten Variablen xi einen Wert aus UA .
Aus welcher Menge kommt IA (f30 ()) ?
Aus welcher Menge kommt
Aus welcher Menge kommt
Einheit 17
IA (P43 ) ?
IA (f32 ) ?
– Folie 17.2 –
Lsg:
UA .
Lsg:
P(UA × UA × UA ).
Lsg:
UA × UA → UA .
16.05.2017
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Beispiel für Strukturen
Man geht grundsätzlich von einer gegebenen Formel aus, etwa:
F = ∀x∃y ∃y 0 ((P(x, y ) ∧ P(x, y 0 )) ∧ ∀z(¬P(x, z) ∨ (Q(y , z) ∨ Q(y 0 , z)))
Als Individuenbereich UA wählt man häufig N – das muss aber
nicht so sein. Durch IA müssen dann alle freien Variablen, alle
Prädikate und alle Funktionen definiert werden. Wir wählen jetzt
UA = V
für einen ungerichteten Graphen G = (V , E )
IA (P) = P A = {(u, v ) | u, v ∈ V und {u, v } ∈ E }
IA (Q) = Q A = {(u, u) | u ∈ V }
(Kantenrelation)
(Gleichheit)
Ist F mit diesen Festlegungen eine wahre Formel?
Wir können das im Moment nur vermuten... (Intuition!)
Einheit 17
– Folie 17.3 –
16.05.2017
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Werte der Terme
Durch das Paar A = (UA , IA ) können nun allen Termen
Werte aus UA zugewiesen werden wie folgt:
• Eine (freie) Variable xi erhält den Wert IA (xi ).
• Ein Term der Form fi k (t1 , . . . , tk ) erhält den Wert
IA (fi k )(u1 , . . . , uk )
wenn die ti jeweils den Wert ui haben.
Den Wert des Terms t in der Struktur A bezeichnen wir mit A(t).
Damit gilt A(t) ∈ UA für alle Terme t.
Ähnlich wie P A für IA (P) oder P(A) stehen kann, wird oft auch t A anstelle
von A(t) geschrieben.
Einheit 17
– Folie 17.4 –
16.05.2017
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Wahrheitswerte der Formeln
Die atomare Formel F = P(t1 , . . . , tk ) ist wahr, falls
(A(t1 ), . . . , A(tk )) ∈ P A gilt. Wir schreiben dann A(F ) = 1.
Andernfalls gilt A(F ) = 0, bzw. F ist nicht wahr.
Die Definitionen von A(¬F ), A(F ∧ G ) und A(F ∨ G )
sind ganz analog zum aussagenlogischen Fall.
Ist F = ∀xG , so definieren wir A(F ) so:
A(F ) = 1, falls für alle α ∈ UA gilt: A[x/α] (G ) = 1
A(F ) = 0, sonst
Ist F = ∃xG , so definieren wir A(F ) so:
A(F ) = 0, falls für alle α ∈ UA gilt: A[x/α] (G ) = 0
A(F ) = 1, sonst
Hierbei ist A[x/α] die Struktur, die überall mit A übereinstimmt, nur für x gilt
jetzt A[x/α] (x) = α, unabhängig vom ursprünglichen Wert A(x).
16.05.2017
Einheit 17
– Folie 17.5 –
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Wahrheitswerte: Beispiel
Wenn die Zeit noch reicht, rechnen wir den Wahrheitswert der
Formel F von Folie 17.3 für zwei Graphen aus, etwa für die
Graphen K3 und K4 .
Der Graph Kn hat n Knoten und eine Kante zwischen je zwei verschiedenen Knoten.
Die Formel F war:
F = ∀x∃y ∃y 0 ((P(x, y ) ∧ P(x, y 0 )) ∧ ∀z(¬P(x, z) ∨ (Q(y , z) ∨ Q(y 0 , z)))
Entweder an der Tafel oder als Übungsaufgabe für zu Hause.
Einheit 17
– Folie 17.6 –
16.05.2017