Wir wollen induktiv für jede Formel einen Baum definieren

Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Baumstruktur für Formeln
Wir wollen induktiv für jede Formel einen Baum definieren.
1) Für atomare Formeln ein Knoten, in den als Label die atomare
Formel eingetragen ist:
Ai
2) Für ¬F ein Knoten, in den als Label die Verknüpfung ¬
eingetragen ist, darunter ein Baum für F :
¬
B
(B sei der Baum für F )
Einheit 2
– Folie 2.1 –
20.04.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
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Baumstruktur für Formeln, Forts.
2) Für F ∧ G ein Knoten, in den als Label ∧
eingetragen ist, darunter Bäume für F und G :
∧
B
B’
(B sei der Baum für F und B’ der für G )
3) Für F ∨ G als Label des Knotens ∨, sonst genau so
wie oben im Fall 2).
Einheit 2
– Folie 2.2 –
20.04.2017
Logik und Diskrete Strukturen (Sommer 2017)
Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Baumstruktur, Beispiel
Formel:
((A ∧ (B ∨ C )) ∨ (¬A ∧ ¬(B ∨ C )))
∨
∧
∧
∨
A
B
C
¬
¬
A
∨
B
C
Wie erfolgt hier die Auswertung?
Antwort: Von unten nach oben...
Einheit 2
– Folie 2.3 –
20.04.2017
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Prof. Dr. Ulrich Hertrampf
Modelle
Wann sagen wir „A ist zu F passend“ ?
A ist genau dann zu F passend, wenn alle in F vorkommenden
atomaren Variablen zum Definitionsbereich von A gehören.
Wann sagen wir „A ist ein Modell für F “ ?
A ist genau dann ein Modell für F , wenn A zu F passend ist
und A(F ) = 1 gilt.
Wann schreiben wir „A |= F “ ?
Wir schreiben A |= F genau dann, wenn A ein Modell für F ist.
Einheit 2
– Folie 2.4 –
20.04.2017
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Gültigkeit, Erfüllbarkeit, Tautologie
Was bedeutet „F ist erfüllbar“ ?
Wir sagen, F ist erfüllbar, wenn es ein Modell für F gibt, d.h. es
existiert eine Belegung A, die zu F passend ist, mit A(F ) = 1.
Was bedeutet „F ist gültig“ ?
F ist gültig, falls für alle A, die zu F passend sind,
A(F ) = 1 gilt.
Was ist eine „Tautologie“ ?
Eine Tautologie ist eine gültige Formel F .
Einheit 2
– Folie 2.5 –
20.04.2017
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Zusammenhang Erfüllbarkeit / Tautologie
Satz: F ist Tautologie ⇐⇒ ¬F ist unerfüllbar
Beweis:
Sei F eine Tautologie. Wir müssen zeigen, dass ¬F unerfüllbar ist.
Es muss also gelten A(¬F ) = 0 für alle zu ¬F passenden
Belegungen A, also A(¬F ) = 0 für alle zu F passenden
Belegungen A, da zu ¬F und zu F die selben Belegungen passen.
Also müssen wir A(F ) = 1 zeigen für alle zu F passenden Belegungen A.
Aber das ist erfüllt, weil F eine Tautologie ist.
Sei nun umgekehrt ¬F unerfüllbar. Zu zeigen: F ist Tautologie.
Wie schon gesagt, passen zu F und ¬F die selben Belegungen.
Es genügt also zu zeigen, dass für alle zu ¬F passenden Belegungen
gilt A(F ) = 1. Aber das folgt direkt, weil A(¬F ) = 0 aufgrund der
Unerfüllbarkeit von ¬F .
Einheit 2
– Folie 2.6 –
20.04.2017