Logik und Diskrete Strukturen Hausübungen 5

Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Hausübungen 5
Abgabe: bis Donnerstag, 13. Dezember um 13:10 bei den Abgabekästen im 1. Stock
1. Skolemform
(1+1+1+2 Punkte)
Gegeben sei die folgende Formel
F = ¬ ∃x∀y P (f (x, y), a) → Q(g(x)) ∧ ∃zP (x, z) ∧ ∀zQ(g(z)) .
a) Formen Sie F so in eine äquivalente Formel F 0 um, dass Negationszeichen nur direkt
vor Prädikaten auftauchen.
b) Bereinigen Sie die Formel F 0 zu einer äquivalenten Formel F 00 .
c) Wandeln Sie F 00 in eine äquivalente Pränexnormalform F 000 um.
d) Bilden Sie die Skolemform von F 000 . Formen Sie die Matrix der Skolemform von F 000 in
KNF um.
2. Prädikatenlogische Äquivalenz
(2+3+2 Punkte)
a) Zeigen Sie die folgende Äquivalenz mit Hilfe der in der Vorlesung eingeführten Äquivalenzen:
∀x∃y(P (x) → Q(y)) ≡ ∃y∀x(P (x) → Q(y)).
b) Beweisen Sie die Äquivalenz ∀xF ∧ ∀xG ≡ ∀x(F ∧ G) aus der Vorlesung anhand der
Definition.
c) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung:
∀x ∃y¬Q(x, f (y)) ∧ P (x) → ∃yR(y) ∧ P (x) ≡ ∀x∃y ¬Q(x, f (y)) ∧ R(y) ∧ P (x) .
3. Modelle
(2+2+2 Punkte)
Für eine prädikatenlogische Formel F definieren wir die Menge der Kardinalitäten von Modellen von F als MCard(F ) := {|UA | | (UA , IA ) ist Modell für F }. Finden Sie erfüllbare
Formeln F , so dass
a) MCard(F ) = {∞}.
b) MCard(F ) = {2}.
c) MCard(F ) = 2N ∪ {∞} = {2, 4, . . .} ∪ {∞}.
Sie dürfen dabei das Prädikat „=“ benutzen. Begründen Sie jeweils ihre Lösung!
Hertrampf/Walter
Wintersemester 2012/13
Logik und Diskrete Strukturen
Votierübungen 5
Besprechung: In den Kalenderwochen 51 und 2.
1. Herbrand-Theorie
Gegeben seien die beiden Formeln
F = ∀x∀y∀z P (x, y) ∧ P (y, x) → P (x, x) ∧ ¬P (z, z) ∧ P (z, f (z))
und
G = ∀x∀y∀z∀w
P (w) ∨ Q(g(f (x), y)) ∧ ¬P (f (x)) ∧ ¬Q(g(z, y))
in Skolemform. Entscheiden Sie, ob diese erfüllbar oder unerfüllbar sind. Ist die Formel
erfüllbar, so geben Sie ein Herbrand-Modell an. Ist die Formel unerfüllbar, so beweisen Sie
dies mit Hilfe des Endlichkeitssatzes und des Satzes von Gödel-Herbrand-Skolem.
2. Unifikation
Sind die folgenden Mengen unifizierbar?
L1 = {P (f (g(a, b)), x), P (x, f (z)), P (f (y), f (g(a, w)))}
L2 = {P (x, f (g(y))), P (z, h(g(x)))}
Benutzen Sie den Unifikationsalgorithmus und protokollieren Sie schrittweise dessen Funktionsweise. Geben Sie jeweils den allgemeinsten Unifikator an, falls dieser existiert. Ist dieser
eine Grundsubstitution?
3. Prädikatenlogische Resolution I
Zeigen Sie, dass die folgende Formel F unerfüllbar ist.
F = ∀x∀y∃w∀z Q(f (y)) → P (f (x), w)∧P (a, a) ∧ ¬P (y, z)∨¬P (f (x), z) ∧Q(f (g(x)))
Formen Sie dazu F zunächst in eine erfüllbarkeitsäquivalente Skolemform um, deren Matrix
in KNF ist. Wenden Sie dann auf diese Formel prädikatenlogische Resolution an. Verwenden
Sie in jedem Schritt den allgemeinsten Unifikator. Stellen Sie die Herleitung der leeren
Klausel und die Substitutionen graphisch dar.
4. Prädikatenlogische Resolution II
Zeigen Sie mit Hilfe von Resolution, dass die folgende Formel
F = ∃x(P (x) → ∀yP (y))
gültig ist.