Einführung in die Logik — Probeklausur

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. Jiří Adámek · Dipl.-Math. Henning Urbat
Einführung in die Logik — Probeklausur
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Hilfsmittel: ein beidseitig beschriebenes DIN-A4-Blatt mit eigenen Notizen
Aufgabe 1 [20 PUNKTE]
Zeigen Sie die Gültigkeit der Sequenz ¬A ∨ C, B ⇒ C |= A ∨ B ⇒ C
(a) [5 PUNKTE]
(b) [15 PUNKTE]
mit einer Wahrheitstabelle.
mit natürlicher Deduktion.
Hinweis zu (b): Der Deduktionsbeweis soll vollständig sein und ausschließlich die in der Vorlesung eingeführten Deduktionsregeln verwenden.
Aufgabe 2 [15 PUNKTE]
Gegeben seien die Formeln Fn (n ≥ 1), die induktiv durch
F1 := A,
Fn+1 := (Fn ⇔ A)
definiert sind. Für welche n ist Fn eine Tautologie? Beweisen Sie Ihre Antwort mit Induktion
nach n (und formulieren Sie dafür zunächst eine geeignete Induktionsbehauptung).
Aufgabe 3 [20 PUNKTE]
Der Freistaat Bayern möchte ein großes Wassersportereignis ausrichten, das an mehreren Austragungsorten stattfinden soll. Als mögliche Orte kommen der Ammersee, der Bodensee, der
Chiemsee und die Donau in Frage. Im Verlauf der recht komplizierten Planungen stellt sich
folgendes heraus: Falls man den Ammersee nutzt, müssen auch Wettkämpfe auf der Donau
ausgetragen werden. Wird der Bodensee Austragungsort, muss man das aus politischen Gründen auch dem Chiemsee zugestehen. Sofern Veranstaltungen auf der Donau stattfinden, muss
man aus Kostengründen auf den Bodensee als Austragungsort verzichten. Und falls man den
Chiemsee nutzt, benötigt man auch die Donau oder den Ammersee für die Wettkämpfe.
(a) [8 PUNKTE]
Formalisieren Sie die beschriebenen Zusammenhänge in Aussagenlogik.
(b) [12 PUNKTE] Zeigen Sie mit der Resolutionsmethode, dass der Bodensee als Austragungsort wegfällt.
Aufgabe 4 [10 PUNKTE]
Testen Sie die Hornformel
B ∧ (¬F ∨ G) ∧ (¬D ∨ ¬C ∨ E) ∧ A ∧ (¬E ∨ ¬A ∨ ¬G) ∧ D ∧ (¬B ∨ C) ∧ (¬F ∨ ¬D)
mit dem Markierungsalgorithmus auf Erfüllbarkeit. Falls die Formel erfüllbar ist, geben Sie eine
erfüllende Belegung an.
Aufgabe 5 [15+10 PUNKTE]
Sei Σ die Signatur mit einem Konstantensymbol 0, Funktionssymbolen f (einstellig) und d
(zweistellig) sowie einem Prädikatensymbol ≤ (zweistellig). Sei R eine Σ-Struktur mit Trägermenge R, dR (x, y) := |x − y| und der üblichen Bedeutung von 0 und ≤. Formulieren Sie die
folgenden Aussagen über die Funktion f : R → R jeweils als prädikatenlogische Formel in der
Signatur Σ.
(a) [4 PUNKTE]
f nimmt nur nichtnegative Werte an (also f (x) ≥ 0 für alle x ∈ R).
(b) [5 PUNKTE]
f hat höchstens zwei Nullstellen.
(c) [6 PUNKTE]
f (x) → 0 für x → ∞.
(d) [10 PUNKTE]
Bonusaufgabe: f hat nur endlich viele Nullstellen.
Aufgabe 6 [20 PUNKTE]
Sei Σ die Signatur mit zwei einstelligen Prädikatensymbolen P und Q. Welche der folgenden Formeln sind allgemeingültig? Für die allgemeingültige(n) Formel(n) argumentieren Sie detailliert
mit der formalen Semantik der Prädikatenlogik. Für die nicht allgemeingültige(n) Formel(n)
geben Sie eine konkrete Σ-Struktur an, in der die Formel falsch ist.
(a) [12 PUNKTE]
∃y : (∀x : P (x) ⇒ P (y))
(b) [8 PUNKTE]
∃x : (P (x) ⇔ Q(x) ∨ P (x))
Aufgabe 7 [20 PUNKTE]
Beantworten Sie die folgenden Wissens- und Verständnisfragen. Knappe Antworten genügen!
(a) [4 PUNKTE] Formulieren Sie die Aussage ”Es besteht eine Korrespondenz zwischen
aussagenlogischen Formeln und Booleschen Funktionen” präzise.
(b) [3 PUNKTE]
Was besagt der Vollständigkeitssatz der natürlichen Deduktion?
(c) [3 PUNKTE] Geben Sie (ohne Beweis) eine dreielementige Menge {F1 , F2 , F3 } von aussagenlogischen Formeln an, die nicht erfüllbar ist und deren echte Teilmengen alle erfüllbar
sind.
(d) [3 PUNKTE]
Was besagt der Kompaktheitssatz der Prädikatenlogik?
(e) [3 PUNKTE] Beweisen oder widerlegen Sie: Für jede prädikatenlogische Formel ϕ gibt es
eine äquivalente Formel ϕ0 , in der keines der Symbole ∃, ∧ und ⇒ vorkommt.
(f) [4 PUNKTE] Welche Eigenschaft muss eine Signatur Σ haben, damit eine prädikatenlogische Formel über Σ existiert, in der keine Variablen vorkommen? Bitte kurz begründen!