Einführung in die Logik

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. J. Adámek
Dipl.-Inform. D. Schwencke
Braunschweig, 23. Juni 2009
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt Nr. 12 – Abgabetermin: 29. Juni 2009, 14:00 Uhr
Website: www.tu-braunschweig.de/iti/teaching/ss09/logik
Aufgabe 37 [8 Punkte]
Betrachten Sie die folgende Signatur einer Struktur für die Prädikatenlogik: f, c mit den Stelligkeiten 1, 0
seien die Funktionssymbole und R, S mit den Stelligkeiten 2, 2 die Relationssymbole.
Entscheiden Sie, welche der folgenden Ausdrücke prädikatenlogische Formeln dieser Signatur sind (x, y, z
seien Variablen). Falls keine prädikatenlogische Formel vorliegt, begründen Sie dies:
(a) R(R(c, x), y)
(b) f (f (c))
(c) R(x, y) ⇒ (∃z : S(z, y))
(d) ∀x : ∃y : (R(c, f (x)) ∧ ((∀z : S(c, c)) ∨ R(g(f (x), c), z)))
Aufgabe 38 [12 Punkte]
Betrachten Sie die Signatur mit den Funktionssymbolen e, f0 , f1 mit Stelligkeiten 0, 1, 1 und mit dem
Relationssymbol P mit Stelligkeit 2. Für diese Signatur sei die folgende Struktur (A, eA , f0A , f1A , P A )
gegeben: die Trägermenge A = {0, 1}∗ besteht aus allen Binärwörtern, eA = ε ist das leere Wort, f0A (w) =
w0 und f1A (w) = w1 hängen an ein gegebenes Binärwort eine 0 bzw. eine 1 an und P A (v, w) bedeutet v
ist ein Präfix von w.
(a) [4 Punkte] Ist die Formel ∀w : ∃v : ∀u : ((P (w, v) ∧ u = x) ∧ P (v, w)) in dieser Struktur gültig?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) [4 Punkte] Ist die Formel ∀x : (¬(x = e) ⇒ ∃y : (x = f0 (y) ∨ x = f1 (y))) in dieser Struktur gültig?
Beschreiben Sie in Worten, was sie aussagt.
(c) [4 Punkte] Geben Sie eine Formel mit der freien Variablen x an, die in der gegebenen Struktur
genau für die Belegungen α wahr ist, für die α(x) mit 00 endet.
Aufgabe 39 [9 Punkte]
Gegeben sei die Formel ∀x : ∃y : ∃z : (P (x, y) ∧ P (z, y) ∧ (P (x, z) ⇒ P (z, x))). In welcher der folgenden
Strukturen M, M 0 , M 00 gilt sie? Die Trägermenge seien jeweils die natürlichen Zahlen.
(a) [3 Punkte] P M = {(m, n) | m < n}
0
(b) [3 Punkte] P M = {(m, 2 ∗ m) | m natürliche Zahl}
00
(c) [3 Punkte] P M = {(m, n) | m < n + 1}
Einführung in die Logik
Aufgabe 40 [9 Punkte]
Betrachten Sie folgenden Formeln
• ∀x : P (x, x)
• ∀x : ∀y : (P (x, y) ⇒ P (y, x))
• ∀x : ∀y : ∀z : ((P (x, y) ∧ P (y, z)) ⇒ P (x, z))
welche P jeweils als reflexiv, symmetrisch und transitiv definieren. Zeigen Sie, dass keine dieser Formeln
von den anderen beiden abgeleitet werden kann, indem Sie Strukturen finden, die jeweils zwei aber nicht
die dritte Formel erfüllen. D.h. finden Sie drei binäre Relationen, für die immer nur zwei der drei Formeln
gelten.