0. ¨Ubung - Institut für Theoretische Informatik

Universität zu Lübeck
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Rüdiger Reischuk
Dipl.-Math. Jan Arpe
Frank Penczek, Hannes Schulz, Johannes Textor
Sommersemester 2004
Übungen Informatik IV
02. April 2004
0. Übung
Besprechung in der Übungsgruppe
1. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden aussagenlogischen bzw. prädikatenlogischen
Äquivalenzen und Folgerungen. (Letzteres können Sie z. B. mit einem Gegenbeispiel
tun.)
(a) Für alle aussagenlogischen Formeln F , G und H gilt
¬(F ∨ G) ∧ H ≡ ¬F ∧ ¬(G ∨ ¬H).
(b) Für alle aussagenlogischen Formeln F und G gilt
¬(F ∨ G) ≡ F ∧ G
(c) Für alle prädikatenlogischen Formeln F und G gilt
∀x(F ∧ ¬G) ≡ (∀xF ) ∧ (∃x¬G).
(d) Für alle prädikatenlogischen Formeln F und G gilt
(∃xF ) ∨ (∃xG) ⇒ ∃x(F ∨ G).
2. Auf der Straße spielen vier Kinder Handball. KLIRR! Der Ball hat eine Fensterscheibe
zerschlagen. Wer von Euch Halunken hat den Ball in mein Fenster geworfen?“ schreit
”
ein Mann voller Zorn. Zitternd stehen die vier Kinder da. Anne sagt: Emil war es.“
”
Emil sagt: Gustav hat es getan.“ Fritz sagt: Ich war’s nicht.“ Gustav sagt: Emil
”
”
”
lügt.“ Ein Passant, der den Wurf beobachtet hat, sagt: Eins von den Kindern war es,
”
aber Vorsicht: Nur eines der Kinder sagt die Wahrheit.“ Welches der Kinder hat den
Ball geworfen? Und welches der Kinder sagt die Wahrheit?
3. Sei F eine prädikatenlogische Formel. Diskutieren Sie, welche der folgenden Aussagen
sich untereinander logisch implizieren. Geben Sie für alle Paare, die sich nicht implizieren, Gegenbeispiele an.
(a) ∀x ∃y F (x, y)
(b) ∃x ∀y F (x, y)
(c) ∀y ∃x F (x, y)
(d) ∃y ∀x F (x, y)
4. Seien A, B ⊆ N zwei beliebige Teilmengen und χA , χB : N → {0, 1} ihre charakteristischen Funktionen. Zeigen Sie, dass
(a) x ∈ A ∩ B genau dann, wenn χA (x) · χB (x) = 1, (mit anderen Worten, χA · χB ist
die charakteristische Funktion von A ∩ B)
(b) x ∈ N \ A genau dann, wenn 1 − χA (x) = 1, (mit anderen Worten, 1 − χA ist die
charakteristische Funktion von N \ A)
(c) A ⊆ B genau dann, wenn χA (x) ≤ χB (x) für alle x ∈ N.
Bitte wenden!
5. Beweisen Sie:
Sei T ein Binärbaum (d. h. ein Baum, in dem jeder Knoten entweder zwei Nachfolger
hat oder ein Blatt ist) mit n Blättern. Dann besitzt T genau 2n − 1 Knoten.
6. Bestimmen Sie die Wachstumsordnung der Funktion T , wenn sie den folgenden Rekursionsgleichungen genügt.
(a) T (n) = 2 · T ( n2 ) + 1000n
(b) T (n) = 3 · T ( n2 ) + 100n
7. Welche der folgenden Mengen sind abzählbar?
(a) die Menge der ganzen Zahlen Z
(b) die Menge der rationalen Zahlen Q
(c) die Mengen der reellen Zahlen R
(d) die Menge der endlichen Teilmengen von N
(e) die Potenzmenge von N
(f) die Menge Nn der n-Tupel über N
(g) die Menge Σ∗ der endlichen Wörter über einem endlichen Alphabet Σ
(h) die Menge der WHILE-Programme
(i) die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen
(j) die Menge aller Abbildungen N → {0, 1}
8. Sei L eine “hinreichend mächtige” Programmiersprache. Diskutieren Sie die folgende
Frage: Können Sie sich vorstellen, dass es ein L-Programm gibt, das, wenn es als Eingabe
• einen L-Quellcode eines weiteren L-Programms Q sowie
• eine Eingabe x für das Programm Q
erhält, das Programm Q bei Eingabe x simuliert? Falls Sie der Meinung sind, dass es
ein solches Programm gibt, wie würden Sie es nennen?
9. (a) Wir betrachten im Folgenden aussagenlogische Formeln. Statt “atomare Prädikate”
verwenden wir dabei den intuitiveren (und kürzeren) Begriff “Variablen”.
Wie könnte man algorithmisch testen, ob eine (aussagenlogische) Formel F erfüllbar
ist? Wieviel Zeit braucht man dazu? Wie lange benötigt Ihr Algorithmus für eine
Formel mit 1000 Variablen, wenn eine Auswertung der Formel für eine konkrete
Belegung der Variablen eine Mikrosekunde dauert?
(b) Beschreiben Sie, wie man zu einer aussagenlogischen Formel F in 4-CNF eine aussagenlogische Formel F 0 in 3-CNF konstruieren kann, so dass F genau dann erfüllbar
ist, wenn F 0 erfüllbar ist.
(c) Funktioniert Ihre Konstruktion aus (b) auch, um 3-CNF-Formeln auf 2-CNF-Formeln
zu reduzieren?
10. Nennen Sie drei Wissenschaftler (m. oder w.), die Ihrer Meinung nach von entscheidender Bedeutung für die Informatik gewesen sind.