Einführung in die Logik

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. J. Adámek
Braunschweig, 01. Juli 2011
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt Nr. 13
Website: www.tu-braunschweig.de/iti/teaching/ss2011/logik
Aufgabe 1 [10 Punkte]
Finden Sie eine Formel F für die
∀x : ∃x : F ⇔ ∃x : ∀x : F
allgemein gültig ist. Und eine Formel F , für die es nicht allgemein gültig ist.
Aufgabe 2 [16 Punkte]
Beweisen Sie oder widerlegen Sie:
(a) [8 Punkte]
∀x : (F ⇒ G) ≡ ∀x : F ⇒ ∀x : G
(b) [8 Punkte]
∀x : F ⇒ G ≡ ∀x : F → ∀x : G
Aufgabe 3 [12 Punkte]
Betrachten Sie die Signatur mit den Funktionssymbolen e, f0 , f1 mit Stelligkeiten 0, 1, 1 und mit dem
Relationssymbol P mit Stelligkeit 2. Für diese Signatur sei die folgende Struktur (A, eA , f0A , f1A , P A )
gegeben: die Trägermenge A = {0, 1}∗ besteht aus allen Binärwörtern, eA = ε ist das leere Wort, f0A (w) =
w0 und f1A (w) = w1 hängen an ein gegebenes Binärwort eine 0 bzw. eine 1 an und P A (v, w) bedeutet v
ist ein Präfix von w.
(a) [4 Punkte] Ist die Formel ∀w : ∃v : ∀u : ((P (w, v) ∧ u = x) ∧ P (v, w)) in dieser Struktur gültig?
Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) [4 Punkte] Ist die Formel ∀x : (¬(x = e) ⇒ ∃y : (x = f0 (y) ∨ x = f1 (y))) in dieser Struktur gültig?
Beschreiben Sie in Worten, was sie aussagt.
(c) [4 Punkte] Geben Sie eine Formel mit der freien Variablen x an, die in der gegebenen Struktur
genau für die Belegungen α wahr ist, für die α(x) mit 00 endet.