10. Übung Logik und Logikprogrammierung Mit

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. C. Köcher
SS 2017
10. Übung Logik und Logikprogrammierung
Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben geben Bonuspunkte.
Abgabe : bis Montag, den 12.06.2017 um 15:00 Uhr am Lehrstuhl oder vor der Übung.
Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an.
(4 Punkte)
Aufgabe 1∗
Sei Σ die Signatur mit dem zweistelligen Relationssymbol R, der Konstante a und dem einstelligen Funktionssymbol f . Gegeben sei weiterhin die folgende Formel:
ϕ = ∀x∀y : R(x, f (x)) ∧ (¬R(x, x) ∨ R(a, x)) ∧ (¬R(y, x) ∨ R(f (x), f (y))) .
Geben Sie jeweils mindestens fünf Elemente des Herbrand-Universums und der HerbrandExpansion an.
(2+2 Punkte)
Aufgabe 2∗
Sei Σ die Signatur mit dem zweistelligen Relationssymbol R und den Konstanten a und b.
Betrachten Sie die folgende Formel
ϕ = ∀x∀y : R(x, y) ∧ ¬R(a, b) ∧ (¬R(a, x) ∨ R(b, y)) ∧ (¬R(x, x) ∨ ¬R(y, y) ∨ R(a, b)) .
(a) Berechnen Sie die Herbrand-Expansion E(ϕ).
(b) Überprüfen Sie mittels SLD-Resolution, ob E(ϕ) erfüllbar ist.
(2 Punkte)
Aufgabe 3∗
Sei Σ die Signatur mit dem einstelligen Relationssymbol P , der Konstante a und den einstelligen
Funktionssymbolen f und g. Betrachten Sie die Formel
ϕ = ∀x : P (a) ∧ (P (x) → P (f (x))) ∧ ¬P (g(x)) .
Weiterhin sei A eine Struktur mit
• UA = N,
• P A = N \ {0},
• aA = 1,
• f A (n) = n + 1 für alle n ∈ N und
• g A (n) = 0 für alle n ∈ N.
Dann kann leicht A |= ϕ gezeigt werden. Konstruieren Sie aus A eine Herbrand-Struktur B,
welche ebenfalls Modell für ϕ ist.
Bitte wenden!
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(2+2 Punkte)
Aufgabe 4∗
Sei Σ die Signatur mit dem zweistelligen Relationssymbol R, den Konstanten a und b sowie
dem einstelligen Funktionssymbol f . Die folgende Formel ist erfüllbar:
ϕ = ∀x : (R(f (x), f (a)) ∧ ¬R(b, a)) .
(a) Geben Sie eine (aussagenlogische) Belegung B mit B(E(ϕ)) = 1B an.
(b) Konstruieren Sie aus B eine Struktur A, die Modell für ϕ ist.
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