10. Übung Logik und Logikprogrammierung

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl. Inf. Faried Abu Zaid
SS 2016
10. Übung Logik und Logikprogrammierung
Dieses Übungsblatt dient und Klausurvorbereitung und wird nicht korrigiert.
Aufgabe 1
Sei ∆ die Menge der Paare (α, β), so dass α ≡ β auf Folie 123 aufgelistet ist. Beweisen Sie die
angegebenen Äquivalenzen mittels Ableitung aus ∆.
(a) (p0 → q) ∧ (p1 → q) ≡ (p0 ∨ p1 ) → q
(b) p → (q0 ∧ q1 ) ≡ (p → q0 ) ∧ (p → q1 )
Aufgabe 2
Betrachten Sie die Horn-Formel
ϕ = p ∧ ((p ∧ q ∧ s) → t) ∧ (p → r) ∧ ((p ∧ r) → s) ∧ q ∧ ((r ∧ t) → ⊥) .
(a) Zeigen Sie mithilfe des SLD-Resolutionsverfahrens, dass ϕ unerfüllbar ist. Geben Sie dazu
eine SLD-Resolution der leeren Klausel an, die mit K0 = ¬p ∨ ¬q ∨ ¬s ∨ t beginnt.
(b) Zeigen Sie nun mittels des Markierungsalgorithmus erneut, dass ϕ unerfüllbar ist.
Aufgabe 3
Betrachten Sie die beiden nachstehenden aussagenlogischen Formeln ϕ und ψ in NNF:
ϕ = (p ∧ ¬r) ∧ q ∧ (p ∧ ¬q) ∨ (¬q ∨ r)
ψ = p ∧ (q ∨ ¬r) ∧ p ∨ (¬q ∧ r)
(a) Entscheiden Sie für beide Formeln mithilfe des Tableau-Verfahrens, ob Sie erfüllbar sind.
Entwickeln Sie dabei jeweils vollständige Tableaus.
(b) Geben Sie für beide Formeln alle erfüllenden Belegungen B : {p, q, r} → {0, 1} an.
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Aufgabe 4
Wir betrachten die Struktur A = (N, +, ·). Geben Sie jeweils eine Formel ϕ(x) an, so dass für
jede Belegung ρ der Variable x genau dann (A, ρ) |= ϕ gilt, wenn
(a) ρ(x) ist eine Primzahl.
(b) ρ(x) ist eine Primpotenz, d.h. a = pn für ein n ∈ N und eine Primzahl p.
(c) ρ(x) ist die Summe zweier Quadratzahlen.
(d) zwischen ρ(x)2 und (ρ(x) + 1)2 liegt eine Primzahl.
Aufgabe 5
Zeigen Sie durch Angabe einer Deduktion, dass folgende Formeln Theoreme sind.
(a) ∀x(P (x) ∧ Q(x)) → ∀x(P (x)) ∧ ∀x(Q(x))
(b) (∀x(P (x) → P (f (x))) ∧ P (y)) → P (y)
Aufgabe 6
Sei < eine zweistelliges Relationssymbol. Wir betrachten folgende Formeln.
ϕirr = ∀x¬(x < x)
ϕtrans = ∀x∀y∀z((x < y ∧ y < z) → x < z)
ϕdicht = ∀x∀y(x < y → ∃z(x < z ∧ z < y))
ϕex = ∃x∃y(x < y)
ϕ = ϕirr ∧ ϕtrans ∧ ϕdicht ∧ ϕex
Sei Σ eine Signatur, welche das Symbol < nicht enthält. Zeigen Sie, dass für alle Σ-Sätze ψ: Der
systematische Tabelauxalgorithmus terminiert genau dann auf ψ ∧ ϕ, wenn ψ unerfüllbar ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass ϕ erfüllbar ist, aber kein endliches Modell hat. Zeigen Sie
zusätzlich, dass jede endliche Hintikka Menge ein endliches Modell besitzt.
Aufgabe 7
Sei ϕ = ∃x(f (f (x)) = x).
(a) Überführen Sie ϕ in eine erfüllbarkeitsäquivalente relationale Formel ψ.
(b) Überführen Sie ψ in eine erfüllbarkeitsäquivalente gleichungsfreie Formel ϑ.
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