9. Übung Logik und Logikprogrammierung Mit

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. C. Köcher
SS 2017
9. Übung Logik und Logikprogrammierung
Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben geben Bonuspunkte.
Abgabe : bis Dienstag, den 06.06.2017 um 09:00 Uhr am Lehrstuhl oder vor der Übung.
Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an.
Aufgrund des langen Wochenendes dürfen Sie diese Woche ihre handschriftlichen Abgaben auch
eingescannt per Email an [email protected] senden. Beachten Sie, dass am Computer erstellte Abgaben nicht berücksichtigt werden!
Aufgabe 1∗
(2+2+2 Punkte)
Es sei R ein zweistelliges Relationssymbol. Betrachten Sie die Formel
ϕ = ∀x : ∃y : R(x, y) ∧ ¬∀y : R(y, x) ∨ ∃z : (¬(z = y) ∧ ¬R(z, x)) .
(a) Konstruieren Sie mithilfe des Verfahrens aus der Vorlesung eine Formel ψ1 in Pränexform,
die äquivalent zu ϕ ist.
(b) Konstruieren Sie mithilfe des Verfahrens aus der Vorlesung eine Formel ψ2 in Skolemform,
die erfüllbarkeitsäquivalent zu ϕ ist.
(c) Geben Sie für die Formeln ϕ, ψ1 und ψ2 jeweils ein Modell an. Wenn möglich, verwenden
Sie für mehrere Formeln dasselbe Modell.
Aufgabe 2∗
(1+3 Punkte)
Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben.
(a) Der Algorithmus zur Berechnung der Skolemform liefert für die Formel ∃x : P (x) das
Ergebnis P (a) mit einer neuen Konstanten a. Zeigen Sie, dass diese beiden Formeln nicht
äquivalent sind.
(b) Sei nun ϕ eine beliebige Formel in Skolemform, die nur das einstellige Relationssymbol P
enthält. Zeigen Sie, dass ϕ und ∃x : P (x) nicht äquivalent sind.
Hinweis: Es genügt die Struktur A mit UA = {1, 2} und P A = {1} zu betrachten.
Aufgabe 3∗
(1+1+1+2 Punkte)
Seien P ein einstelliges Relationssymbol, a ein nullstelliges Funktionssymbol und f ein einstelliges Funktionssymbol. Weiterhin sei
ϕ = P (a) ∧ ∀x : P (f (x)) ∧ ∃y : ¬P (y) .
(a) Berechnen Sie eine Formel ψ1 in Pränexform, die äquivalent ist zu ϕ.
(b) Berechnen Sie eine Formel ψ2 in Skolemform, die erfüllbarkeitsäquivalent ist zu ϕ.
(c) Zeigen Sie, dass ψ2 ein Herbrand-Modell besitzt.
(d) Zeigen Sie, dass ψ1 dagegen kein solches Herbrand-Modell besitzt.
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