Lösungen zum Aufgabenblatt 3 Logik und modelltheoretische

Lösungen zum Aufgabenblatt 3
Logik und modelltheoretische Semantik
Universität München, CIS, SoSe 2016
Hans Leiß
Abgabe: Di, 2.5.2016, 14.ct Uhr
in der Vorlesung (wegen Do Feiertag)
Aufgabe 3.1 Die funktionale Vollständigkeit“ einer Menge von Junktoren (z.B. {∧, ∨, ¬})
”
besagt, daß man jede Wahrheitsfunktion f : Bn → B durch eine Formel mit nur diesen Junk”
toren“ ausdrücken kann. Man konstruiere zur Wahrheitsfunktion f : B3 → B
b1 b2 b3 f (b1 , b2 , b3 )
0 0 0
0
0 0 1
0
0 1 0
1
0 1 1
0
1 0 0
1
0
1 0 1
1 1 0
1
1 1 1
0
nach dem Verfahren der Vorlesungsfolien eine Formel ϕf (p1 , p2 , p3 ), so daß für alle b1 , b2 , b3 ∈ B
und jede Belegung h : Var → B mit h(p1 ) = b1 , h(p2 ) = b2 , h(p3 ) = b3 gilt:
f (b1 , b2 , b3 ) = [[ϕ]]h .
Wie lauten die Hilfsformeln ψ(b1 ,b2 ,b3 ) , die man als Disjunktionsglieder von ϕf braucht?
Lösung von Aufgabe 3.1 Nach der Konstruktion der Vorlesungsfolien ist
_
ϕf (p1 , p2 , p3 ) = { ψ(b1 ,b2 ,b3 ) | (b1 , b2 , b3 ) ∈ B3 , f (b1 , b2 , b3 ) = 1 }.
Nach der Wahl von f brauchen wir also drei der Formeln ψ(b1 ,b2 ,b3 ) , da f nur bei den drei Tripeln
(0, 1, 0), (1, 0, 0) und (1, 1, 0) den Wert 1 liefert. Nach der Definition der ψ(b1 ,b2 ,b3 ) sind diese drei
Formeln
ψ(0,1,0) := ¬p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 ,
ψ(1,0,0) := p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ,
ψ(1,1,0) := p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 .
Die gesuchte Formel ist also
ϕf
:= ψ(0,1,0) ∨ ψ(1,0,0) ∨ ψ(1,1,0)
=
(¬p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 ) ∨ (p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3 ) ∨ (p1 ∧ p2 ∧ ¬p3 ).