Folgen - Einführung - der Antonkriegergasse

Mathematik
Folgen und Reihen
Folgen
Im Kapitel „mathematische Modelle“ hast du gelernt, dass man Folgen von Messergebnissen verschieden interpretieren kann. 2 Punkte einer
Messreihe (links) kann man verbinden (rechts).
Z.B. linear (durchgezogen) oder exponentiell
(strichliert).
Im Folgenden werden wir uns mit diskreten Modellen beschäftigen, also mit Folgen von einzelnen Zahlen.
Wie man sieht, sind die Punkte hier rechts nummeriert. Die Nummerierung heißt
auch Index und beginnt mit 0 oder 1 (hier und bei allen folgenden Beispielen
mit 0). Die Abkürzung für die Nummer ist n.
Wichtig: n ist nur eine Nummer!
Einige Begriffsbestimmungen:
• Eine Zahlenfolge kann endlich oder unendlich sein. Im aufzählenden Verfahren schreibt man die Zahlen in Spitzklammern: <2 ; 2,6 ; 3,2 ; 3,8 ; …>
Kommen keine Kommas vor, kann man statt Strichpunkten auch Beistriche
verwenden.
• Die einzelnen Zahlen werden mit a0, a1, a2 oder b0, b1, b2 etc. bezeichnet. Die
kleine tiefgestellte Zahl ist der Index (also die Nummerierung).
• Weiß man die Nummer nicht, schreibt man an.
➡ Denkaufgabe: wenn an das 5. Glied einer Folge ist, das wievielte ist dann an–1? Das wievielte ist an+3?
➡ Noch eine: Gegeben ist die Folge <1, 1, 2, 3, 5, 8, 13> und n = 4. Wie lauten a0, an-3, an und an+2?
So wird eine Folge angegeben:
explizit
rekursiv
Es gibt eine Formel in die man n (also die
Nummer der Zahl, sagen wir mal 12) einsetzt und als Ergebnis die 12. Zahl bekommt. Setzt man in die Formel nacheinander 1, 2, 3, 4, … ein, bekommt man
die ganze Folge.
Die erste Zahl der Folge ist gegeben. Dann gibt es noch eine
Formel, in die man irgendeine Zahl der Folge einsetzt und als
Ergebnis die unmittelbar nächste Zahl bekommt. Setzt man
z.B. in diese Formel die 7. Zahl ein bekommt man als Ergebnis
die 8. Zahl. Um also etwa die 100. Zahl zu bekommen, muss
man zuerst alle 99 Zahlen davor berechnen.
Beispiel: an = –4 + 0,5n
Beispiel: a0 = –4; an+1 = an + 0,5
Wenn man in diese Formel z.B. für n = 50
einsetzt, bekommt man 21; das bedeutet:
Die Zahl mit der Nummer 50 ist 21. Beginnt man bei 0 zu zählen, ist das die
51. Zahl der Folge.
Die erste Zahl dieser Folge ist –4. Man kommt von einer Zahl
zur nächsten, indem man fortwährend 0,5 addiert.
Siehst du, dass beide Formeln dieselbe Folge bilden?
Hausübung
1. Schreibe die ersten 6 Zahlen der folgenden Folgen auf (in Spitzklammern):
a) an = 6 – 2n
b) an = –1 + 0,2n c) an = 32·0,5n
d) an = –n2 + 6n
(diese 4 Formeln sind explizit)
e) a0 = 3; an+1 = an – 2
f) a0 = 0,25; an+1 = 2·an
(diese 2 Formeln sind rekursiv)
2. Wandle die Formeln a), b) und wenn möglich auch c) in rekursive Darstellung um.
3. Wandle die Formel e) und wenn möglich auch f) in explizite Darstellung um.
4. Gib für die folgende Folge eine explizite und wenn möglich auch eine rekursive Darstellung an:
<0, 2, 4, 6, 8, 10, …>
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