Logik und Logikprogrammierung, ¨Ubungsblatt 6

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
Abgabe am 18.05., Besprechung am 19.05. und 22.05.
Logik und Logikprogrammierung, Übungsblatt 6
(1) Seien P ein einstelliges und Q ein zweistelliges Relationssymbol. Zeigen Sie, dass die Formeln
F1 = ∃x∀y (P (y) → Q(x, y)) und F2 = ∃x∀y (P (y) ∧ Q(x, y)) nicht äquivalent sind.
(2) Seien E ein zweistelliges Relationssymbol und c ein Konstantensymbol.
Strukturen A über diesen Symbolen können als gerichtete Graphen (UA , E A ) mit einem ausgezeichneten
Knoten cA aufgefasst werden.
Es sei G = (V, E) der dargestellte Graph mit ausgezeichnetem Knoten v1 . Geben Sie eine Aussage F
an, so dass für jeden Graphen G0 mit ausgezeichnetem Knoten gilt: G0 |= F genau dann, wenn G0 und G
isomorph sind.
v2
v3
v1
v4
(3) Sei E ein zweistelliges Relationssymbol. Strukturen über diesem Relationssymbol können als
gerichtete Graphen aufgefasst werden. Beschreiben Sie, welche Grapheigenschaften die nachstehenden Formeln ausdrücken:
F1 = ∀x ∃y [E(x, y) ∧ E(y, x)]
F2 = ∀x [((∃y E(x, y)) ∧ (∃y E(y, x))]
F3 = ∀x ∀y [E(x, y) → E(y, x)]
F4 = ∀x ∀y [E(x, y) ∨ (∃z E(x, z) ∧ E(z, y))]
Im Folgenden sei E 0 (x, y) eine Abkürzung für E(x, y) ∧ ¬(x = y):
F5 = ∃x ∃y ∃z [E 0 (x, y) ∧ E 0 (y, z) ∧ E 0 (z, x)]
Geben Sie weiterhin für jede Formel jeweils ein Modell und einen Graphen, der kein Modell
ist, an.
(4) Wie schon in Aufgabe (2) fassen wir gerichtete Graphen mit einem ausgezeichneten Knoten als
Strukturen über den Symbolen E und c auf. Ein Baum ist ein gerichteter, endlicher Graph mit
einem ausgezeichneten Knoten (Wurzel ), von dem es zu jedem anderen Knoten genau einen
Pfad gibt.
(a) Geben Sie eine prädikatenlogische Formel F1 an, so dass für alle Bäume A gilt: A |= F1
gdw. A ist ein Binärbaum.
(b) Geben Sie eine prädikatenlogische Formel F2 an, so dass für alle endlichen Strukturen A
gilt: A |= F2 gdw. A ist ein Baum.
(5) Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben.
(a) Beweisen Sie, dass für jede endliche Menge A und jede Funktion f : A → A gilt:
f injektiv ⇐⇒ f surjektiv
(b) Sei f ein einstelliges Funktionssymbol. Zeigen Sie, dass die Formel
F = ∀x∀y (f (x) = f (y) → x = y) ∧ ∃y∀x ¬(f (x) = y)
kein endliches Modell A = (UA , IA ) hat. Dabei heißt ein Modell A endlich, falls UA endlich
ist.
(6) Sei A die Struktur aus dem Beispiel von Folie 201. Zeigen Sie mittels einer Reduktion von PCP,
dass Th(A) = {F ist eine zu A passende Aussage | A |= F } nicht entscheidbar ist. Verwenden
Sie dazu die Ideen aus dem Beweis des Satzes von Folie 206 (Satz von Church).
Aufgabe zum Selbststudium (nicht bewertet)
(7) Seien R ein zweistelliges Prädikatensymbol, h ein zweistelliges Funktionssymbol und c eine
Konstante. Betrachten Sie die folgenden Formeln:
F1 = ∀x (h(c, x) = x ∧ h(x, c) = x)
F2 = ∀x∀y∀z (h(h(x, y), z) = h(x, h(y, z)))
F3 = ∀x∀y∀z (R(x, y) → R(h(x, z), h(y, z)))
F4 = ∃x∃y ¬R(x, y)
Wir definieren F = F1 ∧ F2 und F 0 = F ∧ F3 ∧ F4 . Geben Sie an:
(a) jeweils ein unendliches Modell für F und für F 0
(b) jeweils ein endliches Modell für F und für F 0
(c) eine nicht gültige Formel G ∈
/ {F1 , F2 , F1 ∨ F2 , F } mit F |= G
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