Logische Strukturen, ¨Ubungsblatt 8

TU Ilmenau, Fachgebiet Theoretische Informatik
Prof. Dr. Dietrich Kuske, Dipl.-Inf. Roy Mennicke
http://www.tu-ilmenau.de/tinf/lehre/ss-2012/logische-strukturen/
Logische Strukturen, Übungsblatt 8
Die Übungsaufgaben sind unmittelbar vor der Vorlesung am 10.7. im Hörsaal K-Hs 1
abzugeben und werden in den Übungsveranstaltungen am 11.7. und 12.7. besprochen.
Bitte heften Sie die Blätter Ihrer Lösung zusammen und vermerken Sie die von Ihnen
besuchte Übung (auf dem ersten Blatt) und Ihre Matrikelnummer (auf jedem Blatt). Das
Bonuspunktesystem ist auf der Internetseite zur Lehrveranstaltung erläutert.
Übungsaufgaben
(1) Sei Σ ein Alphabet (endliche, nichtleere Menge), ∼ ein zweistelliges Relationssymbol
und f ein zweistelliges Funktionssymbol. Für alle a ∈ Σ und w ∈ Σ∗ bezeichnen wir
mit |w|a die Anzahl der a’s in w. Wir betrachten die Struktur A = (Σ, IA ) mit
• f A (w1 , w2 ) = w1 w2 für alle w1 , w2 ∈ Σ∗ und
• w1 ∼A w2 genau dann, wenn |w1 |a = |w2 |a für alle a ∈ Σ und w1 , w2 ∈ Σ∗ .
Zeigen Sie, dass ∼A eine Kongruenzrelation auf A ist.
(2) Seien P ein zweistelliges Relationssymbol, g ein einstelliges Funktionssymbol und a
eine Konstante. Geben Sie ein Herbrand-Modell der folgenden Skolemformel an.
F = ∀x : P (g(x), g(a))
(3) Gegeben sei die prädikatenlogische Formel
F = ¬∃x : [(∀y : P (x, y) ∨ ∃z : Q(z, y)) ∨ ∀x : P (x, g(x, a))] .
(a) Bestimmen Sie eine zu F erfüllbarkeitsäquivalente Formel F 0 in Klauselform.
(b) Geben Sie fünf Terme des Herbrand-Universums für F 0 und drei Formeln aus der
Herbrand-Expansion von F 0 an.
(c) Geben Sie ein Herbrand-Modell für F 0 an.
(4) Formulieren Sie die folgenden beiden Aussagen als prädikatenlogische Formeln. Verwenden Sie dabei geeignet die Konstante p, die einstelligen Relationssymbole G und
L und das zweistellige Relationssymbol S (wir schreiben S(x, y), wenn x Student von
y ist).
(1) Der Professor ist glücklich, wenn alle seine Studenten Logik mögen.
(2) Der Professor ist glücklich, wenn er keine Studenten hat.
Zeigen Sie mit Hilfe des Grundresolutionsalgorithmus, dass die Aussage (2) eine Folgerung aus (1) ist.
Weitere Aufgaben
Einige der folgenden Aufgaben lassen sich erst mit dem Wissen lösen, dass Ihnen in den
letzten beiden Vorlesungen des Semesters vermitteltet wird. Nichtsdestotrotz sind sie eine
gute Vorbereitung auf die anstehende Klausur.
(1) Seien P ein zweistelliges Relationssymbol, f ein zweistelliges Funktionssymbol und a
eine Konstante. Geben Sie jeweils ein Herbrand-Modell der folgenden Skolemformeln
an.
F1 = ∀x∀y : P (f (x, y), f (y, x))
F2 = F1 ∧ ¬P (b, b)
(2) Gegeben sei die prädikatenlogische Formel
F = ∀x∀y∀z : [(P (f (x), x) ∨ Q(x)) ∧ ¬R(f (y)) ∧ (¬P (y, z) ∨ ¬R(y) ∨ R(z))] .
Geben Sie fünf Terme des Herbrand-Universums für F und drei Formeln aus der
Herbrand-Expansion von F an.
(3) Welche der folgenden Mengen von Literalen sind unifizierbar? Ermitteln Sie dazu
mittels des Unifikationsalgorithmus einen allgemeinsten Unifikator oder aber zeigen
Sie, an welcher Stelle der Algorithmus mit der Ausgabe nicht unifizierbar“ abbricht
”
(x, y, z sind Variablen, a, b Konstantensymbole). Geben Sie im positiven Fall einen
zweiten allgemeinsten Unifikator an.
(a) {P (y, f (a, z)), P (b, f (a, b))}
(b) {P (y, f (x, x)), P (b, f (a, y))}
(c) {P (y, f (x, y)), P (g(z), f (a, z))}
(4) Seien P, Q zweistellige Relationssymbole, g ein zweistelliges Funktionssymbol, f ein
einstelliges Funktionssymbol, a, b Konstanten, x, y, u Variablen. Geben Sie alle prädikatenlogischen Resolventen (bis auf Variablenumbenennungen), die sich direkt aus
den beiden folgenden M-Klauseln bilden lassen, an.
K1 = {¬P (x, y), ¬P (f (a), g(u, b)), Q(x, u)}
K2 = {P (f (x), g(a, b)), ¬Q(f (a), b), ¬Q(a, b)}
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