6.¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logische Strukturen“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Automaten & Logik, TU Ilmenau
6. Übungsblatt zur Vorlesung Logische Strukturen“
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Abgabe und Besprechung am 18. Juni 2014
Vorbemerkungen
Die Aufgaben werden in der Übung am 18. Juni 2014 besprochen. Lösungen zu allen Aufgaben
können Sie im Rahmen des Bonuspunktesystems unmittelbar vor dieser Übung abgeben.
Vereinbarung
Auf diesem Übungsblatt meint der Begriff Formel“ stets Formel der Prädikatenlogik 1. Stufe“.
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Aufgabe 1
Zeigen Sie, dass für alle Formeln F und G die folgenden Äquivalenzen bestehen:
(a) ¬∃x : F ≡ ∀x : ¬F .
(b) ∀x∀y : F ≡ ∀y∀x : F .
(c) (∃x : F ) ∨ (∃x : G) ≡ ∃x : (F ∨ G).
(d) F ∨ (∃x : G) ≡ ∃x : (F ∨ G), wenn x keine freie Variable von F ist.
Aufgabe 2
Es sei R ein zweistelliges Relationssymbol. Geben Sie jeweils Formeln F und G, die außer R keine
weiteren Relations- und Funktionssymbole verwenden, sowie eine Struktur A an, die belegen,
dass die nachstehenden Nicht-Äquivalenzen bestehen. Wählen Sie Ihre Formeln F und G jeweils
so, dass auf beiden Seiten des 6≡-Zeichens geschlossene Formeln stehen.
(a) ∀x∃y : F 6≡ ∃y∀x : F .
(b) (∀x : F ) ∨ (∀x : G) 6≡ ∀x : (F ∨ G).
(c) (∃x : F ) ∧ (∃x : G) 6≡ ∃x : (F ∧ G).
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6. Übungsblatt zur Vorlesung Logische Strukturen“
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Aufgabe 3
Es sei R ein zweistelliges Relationssymbol. Betrachten Sie die Formel
F = ∀x : ¬∀y : R(x, y) ∨ ∃z : ¬R(y, z) ∨ ∃y : R(y, x) .
(a) Konstruieren Sie mithilfe der Verfahren aus der Vorlesung bereinigte geschlossene Formeln
Gi für i = 1, 2, 3, 4 mit folgenden Eigenschaften:
(1) G1 ist äquivalent zu F .
(2) G2 ist in Pränexform und äquivalent zu F .
(3) G3 ist in Skolemform und erfüllbarkeitsäquivalent zu F .
(4) G4 ist in Klauselform und erfüllbarkeitsäquivalent zu F .
(b) Geben Sie für die Formeln F und Gi mit i = 1, 2, 3, 4 jeweils ein Modell an. Wenn möglich,
verwenden Sie für mehrere Formeln dasselbe Modell.
Aufgabe 4
Es seien f ein zweistelliges Funktionssymbol und R ein zweistelliges Relationssymbol. Betrachten
Sie die Strukturen A = (M, IA ) und B = (M, IB ) mit M = N2 und
f A (a, b), (c, d) = (a · c, b · d)
sowie
RB =
(a, b), (c, d) ∈ M 2 a + c = b + d .
(Die Struktur A verwendet das Relationssymbol R nicht, B das Funktionssymbol f nicht.)
(a) Untersuchen Sie, ob die durch
(a, b) ≡ (a0 , b0 )
⇐⇒
a + b0 = a0 + b
definierte Äquivalenzrelation ≡ auf M eine Kongruenz auf A bzw. B ist.
(b) Untersuchen Sie, ob die durch
(a, b) ∼ (a0 , b0 )
⇐⇒
ab = a0 b0
definierte Äquivalenzrelation ∼ auf M eine Kongruenz auf A bzw. B ist.
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