7.¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logische Strukturen“

Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
Fachgebiet Automaten & Logik, TU Ilmenau
7. Übungsblatt zur Vorlesung Logische Strukturen“
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Abgabe und Besprechung am 2. Juli 2014
Vorbemerkungen
Die Aufgaben werden in der Übung am 2. Juli 2014 besprochen. Lösungen zu allen Aufgaben
können Sie im Rahmen des Bonuspunktesystems unmittelbar vor dieser Übung abgeben.
Aufgabe 1
Es seien a ein Konstantensymbol, f und g einstellige Funktionssymbole, P ein einstelliges und
R ein zweistelliges Relationssymbol.
Zeigen Sie mithilfe des Grundresolutionssatzes, dass die folgende gleichungsfreie geschlossene
Formel F in Skolemform nicht erfüllbar ist:
F = ∀x∀y : P (f (x)) ∧ R(x, y) → R(y, x) ∧ R(g(x), x)∧
P (x) ∧ R(x, y) → P (y) ∧ ¬P (g(f (a))) .
Aufgabe 2
Es seien F und G zwei beliebige prädikatenlogische Formeln. Aus den entsprechenden Definitionen ergibt sich unmittelbar, dass F und G genau dann äquivalent sind, wenn gleichzeitig F |= G
und G |= F gelten.
(a) Beschreiben Sie, wie man mithilfe der obigen Tatsache und der Grundresolution nachweisen
kann, dass zwei prädikatenlogische Formeln F und G äquivalent sind.
(b) Demonstrieren Sie Ihr Vorgehen aus Teilaufgabe (a) an den Formeln
F = ∀x∀y : E(x, y) → E(y, x)
und
G = ∀x∀y : E(x, y) ↔ E(y, x) ,
wobei E ein zweistelliges Relationssymbol sei.
Aufgabe 3
(a) Formalisieren Sie nachstehenden Aussagen (1) bis (3) als prädikatenlogische Formeln. Verwenden Sie dazu B(x) für x ist Barbier“ und R(x, y) für x rasiert y“.
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”
(1) Jeder Barbier rasiert alle Personen, die sich nicht selbst rasieren.
(2) Kein Barbier rasiert jemanden, der sich selbst rasiert.
(3) Es gibt keine Barbiere.
(b) Zeigen Sie mithilfe der Grundresolution, dass (3) eine Folgerung aus (1) und (2) ist.
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Aufgabe 4
Es seien a ein Konstantensymbol, f ein einstelliges und g ein zweistelliges Funktionssymbol sowie
R ein zweistelliges Relationssymbol. Weiter seien x, y, z, u, v Variablen. Entscheiden Sie, ob die
folgenden Mengen von Literalen unifizierbar sind. Geben Sie jeweils entweder einen Unifikator
an oder begründen Sie kurz, warum die Menge nicht unifizierbar ist.
(a)
L1 = R x, g(f (x), y) , R x, g(z, a) , R f (y), u
(b)
L2 = R x, g(y, f (a)) , R y, g(y, z) , R g(z, a), u
(c)
L3 = R f (x), y , R f (x), g(a, z) , ¬R u, g(x, a)
(d)
L4 = R x, f (y) , R g(z, f (y)), u , R g(g(v, y), u), f (a)
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