Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2003
2. Juni 2003
Einführung in die Logik für Informatiker
Sechstes Übungsblatt
Minitest
(T 1) Syntax der Prädikatenlogik
Es sei die Signatur Σ = (Ω, R, α) gegeben, wobei
Ω = {c, f, g},
R = {P, Q, R},
α(c) = 0, α(f ) = 1, α(g) = 2,
α(P ) = 0, α(Q) = 1, α(R) = 2.
Welche der folgenden Ausdrücke sind bezüglich dieser Signatur Terme, welche sind Formeln,
welche sind keines von beidem?
P
Q
R(x)
∀x.Q(x)
∀x.P
∃x.f (x)
f (g(c, f (x)))
R(c, g(x, x))
∀S.S(x) ∨ ¬S(x)
∀f.f (x) → g(c, x)
Präsenzübungen
(P 16) Belegungen
Gegeben seinen eine Signatur Σ, ein Modell M, eine Belegung % und eine Formel A. Beweise oder
widerlege:
(a) Es gilt entweder M, % A oder M, % ¬A.
(b) Es gilt entweder M A oder M ¬A.
Wie verhält es sich, wenn A eine geschlossene Formel ist?
(P 17) Semantik der Prädikatenlogik
Es sei die Signatur Σ = (Ω, R, α) gegeben, wobei Ω = {f }, R = {R} und α(f ) = 1, α(R) = 2.
Betrachte das Modell M = (M, f M RM ) für Σ, wobei
M = {0, 1, 2, 3},
(
n + 1 falls n 6= 3
f M (n) =
3
falls n = 3
RM = {(m, n) ∈ M × M | |m − n| ≤ 1, m + n 6= 3}
Interpretiere nun die folgenden Formeln in M.
(a) ∀x.∃y. R(f (x), y)
(b) ∃y.∀x. R(f (x), y)
(c) ∃y.∀x. R(f (f (x)), y)
(P 18) Spiel-Interpretation
Sei Σ die Signatur ohne Operationssymbole und mit einem zweistelligen Relationssymbol R.
Weiter sei M das Modell mit unterliegender Menge
M = {0, 1, 2, 3}
und
RM = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3)}.
Außerdem sei % eine beliebige Belegung. Spiele mit Deinem Nachbarn bzw. Deiner Nachbarin das
Verifikations-Widerlegungs-Spiel für die Formel
A ≡ ∀x∀y∃z. R(z, x) ∧ R(z, y) ∧ (∀w. (R(w, x) ∧ R(w, y)) → R(w, z))
Gilt die Formel in M?
Hausübungen
Abgabe in den Übungen am 9. Juni 2003
(H 16) Induktion über den Aufbau einer Formel
Zeige per Induktion über den Formelaufbau:
Wenn für alle x ∈ F V (A) gilt %(x) = %0 (x), dann gilt M, % A ⇐⇒ M, %0 A
Dabei ist F V (A) die Menge der in A frei vorkommenden Variablen.
(H 17) Modelle
Seien Σ und M wie in Aufgabe (P 17) und sei A = R(x, f (y)) → x = y.
(a) Für welche Belegungen % gilt M.% A?
(b) Finde ein Modell für A.
(c) Gibt es ein Modell für ¬A?
(H 18) noch ein Spiel
0
Es seien Σ, M und A wie in (P 18). Wir definieren ein Modell M0 durch M0 = (M, RM ), wobei
0
RM = RM ∪ {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Einfach gesagt, wir erweitern die Interpretation der Relation um die vier angegebenen Elemente.
Spiele das Verifikations-Widerlegungs-Spiel für M0 anstelle von M. Gilt A in M0 ?
F (H 19)
Beweise Satz 6.6 aus dem Skript per Induktion über den Formelaufbau von A.