Dr. Christian Săcărea “Babeş–Bolyai” Universität, Cluj-Napoca Fachbereich Mathematik und Informatik Wintersemester 2016/2017 11. Übung zur Vorlesung Logik für Informatiker Gruppenübungen: (G 30) Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {0/0, s/1, +/2} und Π = {p/1, = /2}. Sei X eine Menge von Variablen und x, y ∈ X. Gegeben sind die Struktur A und die Belegung β, wobei {a, b, c}∗ die Menge aller Wörter über dem Alphabet {a, b, c} ist (inklusive des leeren Wortes ε). Worte werden durch Verknüpfung von Buchstaben des Alphabetes gebildet. Beispiele für Worte über dem gegebenen Alphabet sind: a, b, c, aa, cb, ac, cb, aaaaaaaacaa. A = ({a, b, c}∗ , {0A , sA : {a, b, c, }∗ → {a, b, c}∗ , +A : {a, b, c}∗ × {a, b, c}∗ → {a, b, c}∗ }, {pA , =A }) mit • 0A = a ∈ {a, b, c}∗ • sA (w) = ww ∈ {a, b, c}∗ (Konkatenation mit sich selbst) • +A (w1 , w2 ) = w1 w2 ∈ {a, b, c}∗ (Konkatenation) • pA = {w | DieAnzahlvonainwistgerade} • =A ist die Gleichheit, d.h. =A = {(w, w) | w ∈ {a, b, c}}. und β : X → {a, b, c}∗ ist definiert durch β(x) = ba, β(y) = b. Evaluieren Sie a) A(β)(s(x) + y + s(x)), b) A(β)(x = y + 0), c) A(β)(∃x∀y(x + y = s(x) + y)), d) A(β)(∃yp(x + y)), e) A(β)(∀x∀y((p(x) ∧ ¬p(y)) → p(x + y))). (G 31) Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei • Ω = {a/0}, und • Π = {p/2}. Sei X eine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X. Markieren Sie durch Ankreuzen, welche der folgenden Formeln über Σ und X in NNF, bereinigt, in Pränexnormalform, in Skolemnormalform sind. Hinweis: Es können mehre Spalten zutreffen, d.h. es ist erlaubt mehr als nur 1 Kreuz pro Zeile zu setzen. NNF bereinigt Pränexnormalform Skolemnormalform (∃p(x, y)) → (∀yp(y, a)) (∀xp(a, x)) ∧ (∃yp(y, a)) (∀xp(x, y)) ∨ (∃yp(y, y)) ∀x∃y(p(a, x) ∧ p(x, y)) ∀x∃z∀y¬(p(x, y) ∨ p(x, z)) ∀x∀y(p(x, a) ∨ ¬p(x, y)) ¬(p(x, x) ∧ p(x, y)) ¬p(y, x) ∨ p(x, y) (G 32) Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {a/0} und Π = {p/3}. Ferner sei Xeine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X. Gegeben sei die folgende Formel über Σ und X: F = ∀x∃y(p(y, a, x) ↔ ¬∃zp(z, y, x)). Transformieren Sie F in der Pränexnormalform und geben Sie dabei alle Zwischenschritte explizit an (Negationsnormalform, bereinigte Form, Pränexnormalform).