Logik für Informatiker

Dr. Christian Săcărea
“Babeş–Bolyai” Universität, Cluj-Napoca
Fachbereich Mathematik und Informatik
Wintersemester 2016/2017
Lösungshinweise zur 11. Übung
Logik für Informatiker
Gruppenübungen:
(G 30)
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {0/0, s/1, +/2} und Π = {p/1, = /2}. Sei X eine
Menge von Variablen und x, y ∈ X. Gegeben sind die Struktur A und die Belegung β, wobei
{a, b, c}∗ die Menge aller Wörter über dem Alphabet {a, b, c} ist (inklusive des leeren Wortes
ε). Worte werden durch Verknüpfung von Buchstaben des Alphabetes gebildet. Beispiele für
Worte über dem gegebenen Alphabet sind: a, b, c, aa, cb, ac, cb, aaaaaaaacaa.
A = ({a, b, c}∗ , {0A , sA : {a, b, c, }∗ → {a, b, c}∗ , +A : {a, b, c}∗ × {a, b, c}∗ → {a, b, c}∗ }, {pA , =A
}) mit
• 0A = a ∈ {a, b, c}∗
• sA (w) = ww ∈ {a, b, c}∗ (Konkatenation mit sich selbst)
• +A (w1 , w2 ) = w1 w2 ∈ {a, b, c}∗ (Konkatenation)
• pA = {w | Die Anzahl von a in w ist gerade}
• =A ist die Gleichheit, d.h. =A = {(w, w) | w ∈ {a, b, c}}.
und β : X → {a, b, c}∗ ist definiert durch β(x) = ba, β(y) = b.
Evaluieren Sie
a) A(β)(s(x) + y + s(x)),
b) A(β)(x = y + 0),
c) A(β)(∃x∀y(x + y = s(x) + y)),
d) A(β)(∃yp(x + y)),
e) A(β)(∀x∀y((p(x) ∧ ¬p(y)) → p(x + y))).
Lösung:
a) bababbaba
b) Wahr
c) Wahr (mit β(x) = a)
d) Wahr (mit β(y) = a)
e) Falsch
(G 31)
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei
• Ω = {a/0}, und
• Π = {p/2}.
Sei X eine Menge von Variablen und x, y, z ∈ X. Markieren Sie durch Ankreuzen, welche der
folgenden Formeln über Σ und X in NNF, bereinigt, in Pränexnormalform, in Skolemnormalform sind.
Hinweis: Es können mehre Spalten zutreffen, d.h. es ist erlaubt mehr als nur 1 Kreuz pro Zeile
zu setzen.
NNF bereinigt Pränexnormalform Skolemnormalform
(∃p(x, y)) → (∀yp(y, a))
(∀xp(a, x)) ∧ (∃yp(y, a))
X
X
(∀xp(x, y)) ∨ (∃yp(y, y))
X
∀x∃y(p(a, x) ∧ p(x, y))
X
X
X
∀x∃z∀y¬(p(x, y) ∨ p(x, z))
∀x∀y(p(x, a) ∨ ¬p(x, y))
X
X
X
X
¬(p(x, x) ∧ p(x, y))
¬p(y, x) ∨ p(x, y)
X
X
X
(G 32)
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {a/0} und Π = {p/3}. Ferner sei Xeine Menge von
Variablen und x, y, z ∈ X. Gegeben sei die folgende Formel über Σ und X:
F = ∀x∃y(p(y, a, x) ↔ ¬∃zp(z, y, x)).
Transformieren Sie F in der Pränexnormalform und geben Sie dabei alle Zwischenschritte explizit an (Negationsnormalform, bereinigte Form, Pränexnormalform).
Lösung:
Wir bringen zuerst die Formel in NNF durch Elimination der Implikationen und Schieben der
Negation bis vor den Atomen:
∀x∃y (((p(y, a, x) → ¬∃z p(z, y, x)) ∧ ((¬∃z p(z, y, x) → p(y, a, x)))
Diese Formel ist äquivalent mit
∀x∃y ((¬p(y, a, x) ∨ ∀z¬p(z, y, x)) ∧ (∃zp(z, y, x) ∨ p(y, a, x)).
Nach Bereiningung erhalten wir
∀x∃y ((¬p(y, a, x) ∨ ∀u1 ¬p(u1 , y, x)) ∧ (∃u2 p(u2 , y, x) ∨ p(y, a, x)).
Die Pränexnormalform ist
∀x∃y∀u1 ∃u2 ((¬p(y, a, x) ∨ ¬p(u1 , y, x)) ∧ (p(u2 , y, x) ∨ p(y, a, x)).