¨Ubungen zur Vorlesung Logik WS 2011 ¨Ubungsblatt 7 28.11.2011

Übungen zur Vorlesung Logik
Thomas Schwentick
Daniela Huvermann und Thomas Zeume
WS 2011
Übungsblatt 7
28.11.2011
Dieses Übungsblatt ist am 5.12.2011 abzugeben. Es gelten die Bedingungen von Blatt 1 und 2.
Quizfragen:
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche sind falsch? Und warum?
keine Punkte
1. Alle Modelle einer prädikatenlogischen Formel haben die gleiche Grundmenge.
2. In einer prädikatenlogischen Formel kann eine Variable entweder frei oder gebunden vorkommen.
3. Betrachten Sie die Signatur {≤, Qa , Qb , Qc } für Zeichenketten über dem Alphabet {a, b, c}.
Die prädikatenlogische Formel
∀x∀y[(Qa (x) ∧ (x ≤ y) ∧ ¬(y ≤ x)) → Qb (y)]
beschreibt genau die Strings über {a, b, c}, die mit einem a beginnen, nach welchem nur noch
bs (eine beliebige Anzahl) stehen.
Aufgabe 7.1 [Signaturen, Teilformeln, freie und gebundene Variablen]
Betrachten Sie die Formel
3 Punkte
ϕ := ∀x(¬(P2 (c, f1 (f2 (c), f2 (z))) ∧ ¬∃y(P1 (x) ∧ P1 (y))) ∨ y = c)
Bestimmen Sie die Signatur von ϕ, alle Teilformeln von ϕ und alle in ϕ vorkommenden Terme.
Entscheiden Sie außerdem für jedes Vorkommen einer Variablen, ob es frei oder gebunden ist.
Welche Variablen sind frei?
Übungsblatt 7
Übungen zur Logik
Seite 2
Aufgabe 7.2 [Die Erbschaft 2]
7 Punkte
Der kleine Tim hat gemerkt, dass mit großer Macht auch große Verantwortung einhergeht. Damit
sein kleines Einkaufsimperium nicht bankrott geht, muss es gut verwaltet werden. Nach seinem
Schulausflug an die Dortmunder Universität (bei dem unter anderem die Fakultät für Inforamtik
besucht wurde) weiß er, dass wir ihm sicher dabei helfen können seine Kaufhäuser zu verwalten. Die
Modellierung der relevanten Unternehmensstruktur ist der erste Schritt in einer guten Verwaltung.
Nach eingehender Analyse stellen wir fest, dass sich Einkaufsimperien wie folgt durch Strukturen
über der Signatur (K, M, C, B, f ) modellieren lassen:
• Die Grundmenge enthält die Kaufhäuser sowie die Mitarbeiter und Chefs der einzelnen
Kaufhäuser.
• Es gibt die unären Relationen K, M und C, wobei
– K die Kaufhäuser,
– M die Mitarbeiter, und
– C die Chefs
enthält.
• Die binäre Relation B beschreibt die Beschäftigungsverhältnisse, d.h. sie enthält für jeden
Mitarbeiter bzw. Chef b der im Kaufhaus k arbeitet ein Paar (b, k).
• Die unäre Funktion f ordnet jedem Kaufhaus die Chefin oder den Chef des Kaufhauses zu.
Für alle anderen Elemente a der Grundmenge ist f die Identität, d.h. f (a) = a.
a) Tim gibt uns zunächst die Daten von drei seiner Kaufhäuser:
• Das erste Kaufhaus hat die Mitarbeiter Anne und Beate. Die Chefin ist Beate.
• Im zweiten Kaufhaus arbeiten Anne, Christian und Daniel. Chef ist Christian.
• Das dritte Kaufhaus hat nur zwei Mitarbeiter, Daniel und Frieda. Hier ist Frida die
Chefin.
Geben Sie eine Struktur A = (A, K A , M A , C A , B A , f A ) an, die diese drei Kaufhäuser beschreibt.
(1,5 Punkte)
b) Der kleine Tim möchte, dass gewisse Bedingungen für sein Einkaufsimperium gelten. Helfen Sie Tim, indem Sie prädikatenlogische Formeln mit Gleichheit über der Signatur
(K, M, C, B, f ) für die folgenden Bedingungen angeben:
(i) Jedes Kaufhaus hat mindestens zwei Mitarbeiter.
(ii) Keine Person ist Chef von zwei Kaufhäusern.
[1 Punkt]
[1 Punkt]
Hinweis: In prädikatenlogischen Formeln mit Gleichheit kann neben den Relationen aus der
Signatur zusätzlich das 2-stellige Relationssymbol =“ verwendet werden. Für = erlauben
”
wir immer nur die Interpretation {(a, a)|a ∈ A}, wobei A die Grundmenge ist. Wir schreiben
t = t2“ statt = (t1 , t2 )“.
”1
”
Übungsblatt 7
Übungen zur Logik
Seite 3
c) Tim lernt schnell. Seine anderen Anforderungen übersetzt er nun selbst in prädikatenlogische
Formeln:
(i) ϕi = ¬∃x(C(x) ∧ ∀y(K(y) → ¬B(x, y)))
(ii) ϕii = ∀x∀y((K(x) ∧ K(y)) → ∃z(M (z) ∧ B(z, x) ∧ B(z, y)))
[1 Punkt]
[1 Punkt]
Geben Sie zu den Formeln jeweils eine umgangssprachliche Formulierung an.
d) Ein weiterer wichtiger Aspekt bei der Verwaltung eines Kaufhausimperiums ist das Kundenmanagement. Jeder der Kunden geht in einigen Kaufhäusern gerne einkaufen, in anderen
wiederum nicht. Außerdem hat jeder Kunde sein Lieblingskaufhaus und seinen Lieblingsmitarbeiter.
Um welche Relationen und Funktionen muss die Signatur (K, M, C, B, f ) erweitert werden,
damit auch diese Aspekte modelliert werden können?
(1,5 Punkte)
Zusatzaufgabe [Natürlich!]
Gegeben sei die Struktur A = (AA , <A , +A , ×A , 0A , 1A ), wobei
2 Punkte
• AA = N = {0, 1, . . . } die Menge der natürlichen Zahlen ist,
• <A ⊆ N × N die Ordnungsrelation über N ist,
• +A : N2 → N die Additionsfunktion ist,
• ×A : N2 → N die Multiplikationsfunktion ist, und
• 0A = 0 und 1A = 1 Konstanten sind.
Geben Sie Formeln der Prädikatenlogik mit Gleichheit über der Signatur von A an, die die folgenden
Aussagen über die natürlichen Zahlen ausdrücken.
a) Jede gerade Zahl x > 2 ist die Summe zweier Primzahlen (Goldbachsche Vermutung).
b) Die Primfaktoren einer natürlichen Zahl sind eindeutig.
c) Die Zahl x ist eine Zweierpotenz, d. h., es gibt ein k, sodass x = 2k gilt.
d) Die Bitrepräsentationen der Zahlen x und z (ohne führendende Nullen) sind gleich lang.