¨Ubungsblatt 10

Grundlagen der Logik in der Informatik
WS 2014
Übungsblatt 10
Abgabe der Lösungen: 19.01–23.01
Aufgabe 1
Die Natürlichen Zahlen als Modell (Präsenzaufgabe)
Sei N die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0, also N = {0, 1, 2, . . .}. Stellen Sie N als
ein Modell einer Signatur dar, die aus den folgenden Symbolen besteht:
• eine Konstante (also ein 0-stelliges Funktionssymbol) 0;
• ein einstelliges Funktionssymbol s für die Nachfolgeroperation, z.B. s(0) = 1, s(1) = 2
etc.;
• zwei binäre Funktionssymbole + und × für Addition und Multiplikation.
Drücken Sie die folgenden Sätze als Formeln in Prädikatenlogik erster Stufe aus:
1. x ist kleiner oder gleich y (Achtung: ≤ gehört nicht zur Signatur);
2. 0 ist die kleinste natürliche Zahl;
3. x ist ein Teiler von y;
4. x ist eine Dreieckszahl (d.h. x ist ein Binomialkoeffizient der Form
y+1
2
für geeignetes y).
Überprüfen Sie dann die folgende Sätze der Peano-Arithmetik :
1. N |= ∀x. (s(x) = s(y) → x = y);
2. N |= ∀x. ∀y. x + s(y) = s(x + y);
3. N |= ∀x. ∀y. X × s(y) = x + x × y.
Aufgabe 2
Fitch trifft Induktion
Die Axiome der Peano-Arithmetik (mit + und ×) lauten
PA1 . ∀x. ¬(0 = s(x));
PA2 . ∀x. (s(x) = s(y)) → (x = y);
PA3 . ∀x. x + 0 = x;
PA4 . ∀x, y. x + s(y) = s(x + y);
PA5 . ∀x. x × 0 = 0;
PA6 . ∀x, y. x × s(y) = x × y + x;
(Präsenzaufgabe)
GLoIn, WS 2014
PA7 . ∀y1 , . . . , yn . φ(0, y1 , . . . , yn )∧∀x. (φ(x, y1 , . . . , yn ) → φ(s(x), y1 , . . . , yn )) → ∀x. φ(x, y1 , . . . , yn ) .
Das letzte Axiom ist in Wirklichkeit ein Axiomenschema, das für jedes φ ein Axiom erzeugt,
eine sogenannte Instanz. Diese Instanzen heißen erwartungsgemäß Induktionsaxiome. Die schematische Formulierung ist eine Annäherung an das eigentlich beabsichtigte Induktionsprinzip,
das über eine Prädikatenvariable P anstelle von φ redet, aber in Prädikatenlogik erster Stufe
nicht ausdrückbar ist.
Leiten Sie die Kommutativität von + aus den Peano-Axiomen in Fitch her.
Hinweis: Man beweise zunächst die Hilfsaussage ∀y, x. s(y) + x = s(y + x).
Aufgabe 3
Modellbau in Peano-Arithmetik
(6 Punkte)
Peano-Arithmetik ist bekanntermaßen korrekt über natürlichen Zahlen, d.h. N |= φ gilt für jedes Peano-Axiom φ und somit auch für alle Theoreme der Peano-Arithmetik, d.h. alle durch
natürliches Schließen aus den Axiomen hergeleiteten Formeln. Peano-Arithmetik ist dennoch
nicht vollständig über N, eine Konsequenz des berühmten ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatzes. Das bedeutet unter anderem, dass es andere Modelle als N gibt ( andere“ in einem
”
formal präzisen Sinn), die alle Peano-Axiomen erfüllen. Solche Modelle werden auch Nichtstandardmodelle genannt. Man meint intuitiv, solche Modelle auf recht naive Weise konstruieren zu
können, was aber fehlschlägt, wie der folgende Versuch:
1. Erweitern Sie das Modell N bis zu N∪{∞}, indem Sie die Semantik von Funktionssymbolen
dahingehend vervollständigen, dass ∞ als Ergebnis ausgegeben wird, sobald mindestens
ein Argument zu ∞ evaluiert wird.
2. Beweisen Sie, dass das so definierte Modell kein Nichtstandardmodell der Peano-Arithmetik
ist (es also ein Peano-Axiom φ gibt, so dass N ∪ {∞} 6|= φ). Hinweis: Betrachten Sie das
Induktionsaxiom für φ(x) = ¬(x = s(x)).
Aufgabe 4
Ausdrücke über ganzen Zahlen
(6 Punkte)
Gegeben seien eine Signatur Σ, die aus einem binären Funktionssymbol f sowie drei Konstanten
a, b und c besteht, und ein Σ-Modell M mit der Menge der ganzen Zahlen als Trägermenge (also
M = Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}). Sei E ein abgeschlossener Ausdruck (also F V (E) = ∅) über
Σ. Beweisen Sie, dass
1. wenn M[[f ]](x, y) = x + y, M[[a]] = M[[b]] = 0 und M[[c]] = 1, dann M[[E]] gleich der Anzahl
Vorkommen von c in E ist;
2. wenn M[[f ]](x, y) = x + y, M[[a]] = 0, M[[b]] = 1 und M[[c]] = −1, dann M[[E]] = 0 g.d.w. b
und c in E gleich oft vorkommen;
Hinweis: Induktion über die Struktur von E mit ggf. verstärkter Induktionsaussage.
Aufgabe 5
Schachbrett als Modell erster Stufe
(8 Punkte)
Formalisieren Sie die folgende Schachsituation als ein Modell M für die Signatur, die folgende
Symbole umfasst: drei Individuenkonstanten wKoenig, sKoenig und sDame; vier binäre Prädikate
linksVon, rechtsVon, hinter, vor; und ein ternäres Prädikat zwischen.
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GLoIn, WS 2014
0Z0Z0Z0Z
Z0Z0Z0J0
6
0Z0Z0Z0Z
5
Z0Z0Z0Z0
4
0Z0Z0l0Z
3
Z0Z0Z0Z0
2
kZ0Z0Z0Z
1
Z0Z0Z0Z0
8
7
a
b
c
d
e
f
g
h
Die Semantik der Prädikate soll durch die jeweils offensichtliche geometrische Beziehung gegeben
sein. Stellen Sie sicher, dass die Uneindeutigkeit in der Argumentfolge der Prädikate so aufgelöst
ist, dass M die folgenden Formeln erfüllt: vor(wKoenig, sKoenig), rechtsVon(wKoenig, sKoenig),
zwischen(sDame, sKoenig, wKoenig).
Überprüfen Sie die folgenden Behauptungen:
1. M |= ∃X. (linksVon(X, sDame) ∧ vor(X, wKoenig));
2. M |= ∃X. ∃Y. (linksVon(X, Y ) ∧ ∃Z. hinter(Z, Y ));
3. M |= ∃X. ∀Y. ∀Z. (¬(Y = Z) → zwischen(X, Y, Z)).
Hinweis: Das Modell ist hier endlich; daher kann man Prädikate einfach durch Auflisten der
sie erfüllenden Tupel über dem Grundbereich definieren.
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