Herbrand-Theorie

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
4.4 Prädikatenlogik ohne Gleichheit – Herbrand-Theorie
Herbrand-Strukturen
Def.: Grundterm ist variablenfreier Term. GT τ = Menge aller
Grundterme über Signatur τ
beachte: ohne Konstantensymbole keine Grundterme
Def.: A mit Universum A heißt Herbrand-Struktur, falls
• A = GT τ
• für alle Funktionssymbole f und alle Grundterme t1 , . . . , tk
mit k ≥ 0 gilt f A (t1 , . . . , tk ) = f (t1 , . . . , tk )
Herbrand-Modell einer Formel ist Modell, welches auch
Herbrand-Struktur ist
beachte:
• in Herbrand-Strukturen nur die Interpretation von
Funktionssymbolen festgelegt
• Syntax wird zur Semantik
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Herbrand-Expansion
Ziel: Resultate von Aussagenlogik auf FO übertragen
Def.: Sei Φ Menge von FO∀ -Sätzen über Signatur τ . Die
Herbrand-Expansion ist die kleinste Menge AL(Φ), für die gilt: falls
∀x1 . . . ∀xn ψ ∈ Φ mit ψ quantorenfrei, dann ist
{ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] | ti ∈ GT τ für i = 1, . . . , n} ⊆ AL(Φ)
beachte: AL(Φ) ist aussagenlogische Formelmenge über
Aussagenvariablen der Form R(t1 , . . . , tn )!
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Erfüllbare Herbrand-Expansionen
sei τ , Φ und AL(Φ) gegeben und I |= AL(Φ)
definiere Herbrand-Struktur HI wie folgt
R HI := {(t1 , . . . , tn ) | I(R(t1 , . . . , tn )) = 1}
beachte: dadurch ist HI eindeutig bestimmt
Lemma: Für alle quantoren-freien ψ(x1 , . . . , xn ) und alle
t1 , . . . , tn ∈ GT τ gilt
HI |= ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
gdw.
I |= ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
Beweis: Per Induktion über ψ. Übung.
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Satz von Herbrand
Theorem 18
Sei Φ Menge von FO∀ -Sätzen über τ . Dann ist Φ erfüllbar gdw.
AL(Φ) erfüllbar ist.
Beweis: “⇐” Angenommen, AL(Φ) hat Modell I. Beachte:
Variablen sind von der Form R(t1 , . . . , tn ). Wir zeigen: HI (wie
oben definiert) ist Modell von Φ.
Sei ϕ = ∀x1 . . . ∀xn ψ ∈ Φ, ψ quantorenfrei. Dann gilt
HI |= ϕ gdw. für alle t1 , . . . , tn : HI , [x1 �→ t1 , . . . , xn �→ tn ] |= ψ
gdw. für alle t1 , . . . , tn : HI |= ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
gdw. für alle t1 , . . . , tn : I |= ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
Somit gilt dann auch HI |= Φ.
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Beweis des Satzes von Herbrand
“⇒” Angenommen, es gibt A = (A, τ ) mit A |= Φ. Definiere
aussagenlogische Interpretation IA wie folgt.
�
1 , falls ([[t1 ]]A , . . . , [[tn ]]A ) ∈ R A
IA (R(t1 , . . . , tn )) =
0 , sonst
Sei ψ � := ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] ∈ AL(Φ). Per Induktion über ψ � zeigt
man: IA |= ψ � gdw. A |= ψ � .
Sei nun ϕ := ∀x1 . . . ∀xn ψ ∈ Φ. Es gilt A |= ϕ
⇔ A, [x1 �→ a1 , . . . , xn �→ an ] |= ψ für alle a1 , . . . , an ∈ A
⇒ A, [x1 �→ [[t1 ]]A , . . . , xn �→ [[tn ]]A ] |= ψ für alle t1 , . . . , tn ∈ GT τ
⇔ A |= ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] für alle t1 , . . . , tn ∈ GT τ
⇔ IA |= ψ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] für alle t1 , . . . , tn ∈ GT τ
Somit gilt auch IA |= AL(Φ).
�
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