Undefinierbarkeit

Prädikatenlogik 1. Stufe mit Gleichheit
� Undefinierbarkeit
� Resultate
� Sequenzenkalkül
� Resolution
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
5.1 Prädikatenlogik mit Gleichheit – Undefinierbarkeit
Undefinierbarkeit der Gleichheit
gibt es FO-Formel isEqual(x, y ), so dass für alle A und ϑ gilt:
A, ϑ |= isEqual(x, y )
gdw.
ϑ(x) = ϑ(y ) ?
Hinweis: was würde dann ∀x ∀y isEqual(x, y ) ausdrücken?
Existenz solch einer Formel würde aufsteigendem Satz von
Löwenheim-Skolem widersprechen
Gleichheit ist jedoch oft wichtig in der Modellierung
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5.1 Prädikatenlogik mit Gleichheit – Undefinierbarkeit
Notwendigkeit von Gleichheit
Bsp.:
• mathematische Theorien wie Gruppen, Körper, Vektorräume,
partielle Ordnungen, Verbände, etc., z.B.
∀x ∀y ∀z.x · (y · z) = (x · y ) · z ∧ x · e = x ∧ x · i(x) = e
• Programme; wie ausdrücken, dass
• zwei Variablen denselben Wert haben,
• zwei Pointer auf dieselbe Variable zeigen,
• ...
• ...
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5.1 Prädikatenlogik mit Gleichheit – Undefinierbarkeit
Gleichheit als Kongruenzrelation
Def.: E ⊆ A × A ist Äquivalenzrelation, falls E reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
Äquivalenzrelation E ist Kongruenz bzgl. Signatur τ , falls für alle
n ∈ N, alle x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn mit (xi , yi ) ∈ E für alle
i = 1, . . . , n, alle n-st. Funktionen f und alle n-st. Relationen R
gilt:
�
�
f (x1 , . . . , xn ), f (y1 , . . . , yn ) ∈ E
(x1 , . . . , xn ) ∈ R gdw. (y1 , . . . , yn ) ∈ R
Übung: gib FO-Satz an, der besagt, dass Relation Eq eine
Kongruenz bzgl. gegebenem τ ist.
Problem: nicht jede Kongruenzrelation ist auch Gleichheit;
Gleichheit ist feinste Kongruenzrelation
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Undefinierbarkeit der Gleichheit
Undefinierbarkeit der Gleichheit folgt sofort aus aufsteigendem
Satz von Löwenheim-Skolem
intuitive Erklärung: Wahrheitswert einer Formel in einer
Interpretation hängt nur ab von Struktur der Relationen und
Funktionen, nicht jedoch von Wahrheitswert einer Formel in einer
Interpretation hängt nur ab von Namen der Elemente
Bsp.: erfüllen die folgenden Graphen ∀x ∃y .E (x, y ) ∧ Rot(y )?
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Bijektivität und Isomorphie
Def.: Eine Abb. f : A → B ist bijektiv, wenn sie folgendes ist:
• surjektiv: für jedes b ∈ B gibt es a ∈ A mit b = f (a)
• injektiv: für alle a �= a� ∈ A gilt f (a) �= f (a� )
Def. A = (A, τ ) und B = (B, τ ) sind isomorph, A � B, wenn es
eine bijektive Abbildung ι : A → B gibt, so dass für alle
a1 , . . . , an ∈ A und f , R ∈ τ :
• (a1 , . . . , an ) ∈ R A gdw. (ι(a1 ), . . . , ι(an )) ∈ R B ,
• ι(f A (a1 , . . . , an )) = f B (ι(a1 ), . . . , ι(an )).
intuitiv: isomorphe Strukturen sehen genau gleich aus,
unterscheiden sich nur in den Namen der Elemente
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Gleichheit, Isomorphie und elementare Äquivalenz
Def.: Zwei Strukturen A, B sind elementar äquivalent, A ≡ B,
wenn für alle FO-Sätze ϕ gilt: A |= ϕ gdw. B |= ϕ.
sprich: diese können nicht in FO voneinander unterschieden
werden, Th({A}) = Th({B}).
Theorem 27
Wenn A � B, dann A ≡ B.
Beweis: Übung.
Kor.: Gleichheit ist in FO nicht definierbar.
Beweis: Übung.
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Herbrand-Modelle
zur Erinnerung: jede erfüllbare FO-Formel hat ein Herbrand-Modell
gilt nicht mehr für FO= !
intuitiv: Gleichheit verwenden, um Interpretation von Grundtermen
durch sich selbst zu verhindern
.
formal: ∀x x = f (x) ist erfüllbar, hat aber kein Herbrand-Modell
Konsequenz für FO: abzählbare Modelle; heißt dies, dass es
erfüllbare FO= -Formeln ohne höchstens abzählbar unendlich große
Modelle gibt?
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FO mit Gleichheit
FO= erweitert das bisher bekannte FO um atomare Formeln der
.
Form t1 = t2 für Terme t1 , t2
Notation:
.
• = für Gleichheit in FO= , = für Gleichheit über FO= , siehe
.
z.B. ϕ = x = f (y )
.
.
• schreibe auch t =
� t � für ¬(t = t � )
Semantik:
.
A, ϑ |= t1 = t2
gdw.
A
[[t1 ]]A
=
[[t
]]
2 ϑ
ϑ
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5.1 Prädikatenlogik mit Gleichheit – Undefinierbarkeit
Beispiele
Was besagen jeweils die folgenden Formeln?
.
• ∃z ∃z � .z =
� z � ∧ E (x, z) ∧ E (x, z � ) ∧ E (z, y ) ∧ E (z � , y )
.
.
.
.
.
.
• ∃x ∃y ∃z.x =
� y ∧y =
� z ∧x =
� z ∧ ∀v .x = v ∨ y = v ∨ z = v
• ∀x ∀y ∀z.x ≤ x ∧ (x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z)∧
.
(x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y )
Übung:
• gib für n ∈ N Sätze an, die besagen “das Universum hat
mindestens / höchstens n Elemente”
• gib Satz an, der genau in binären Bäumen erfüllt ist
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