Strukturen - Uni Kassel

Prädikatenlogik 1. Stufe ohne Gleichheit
� Strukturen
� Syntax und Semantik
� Normalformen
� Herbrand-Theorie
� Sequenzenkalkül
Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
4.1 Prädikatenlogik ohne Gleichheit – Strukturen
Schwäche der Aussagenlogik
Aussagenlogik hat zwar Vorteile (z.B. Entscheidbarkeit mittels
Sequenzenkalkül, Resolution, DPLL, etc.), ist jedoch für viele
Anwendungen nicht ausdrucksstark genug.
Wie z.B. formalisieren:
• “Jede Quadratzahl ist positiv” und “25 ist Quadratzahl”, also
“25 ist positiv”. Ist offensichtlich richtig, hat aber Struktur
A ∧ B → C . Abstraktion in reine Aussagen verdeckt hier den
Grund für die Wahrheit.
�
• “Partielle Ordnung (M, ≤) ist total”.
Ax,y ∨ Ay ,x
x,y ∈M
funktioniert nur für endliche Mengen M. Außerdem
wünschenswert: eine Formel, die dies für alle partiellen
Ordnungen besagt.
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4.1 Prädikatenlogik ohne Gleichheit – Strukturen
Schwäche der Aussagenlogik
• betrachte zur Erinnerung Anwendung des Kompaktheitssatzes
Theorem 10
Sei K endliche Menge von Kacheln. Wenn jede n × n-Ebene
kachelbar ist, dann ist auch die N × N-Ebene kachelbar.
formalisierbar in Aussagenlogik als allgemeingültige Formeln?
Interpretation, die lediglich Aussagenvariablen Wahrheitswerte
zuordnen, reichen nicht aus, um solche Zusammenhänge adequat
zu modellieren.
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Signaturen
Def.: Signatur τ ist Menge/Liste von Relationssysmbolen R und
Funktionssymbolen f , jeweils mit Stelligkeit st(R), st(f ) ≥ 0.
Null-stellige Funktionssymbole heißen Konstanten, null-st.
Relationssymbole Propositionen.
Bsp.:
≤ = (≤, +, ·, 0, 1) ist Signatur der geordneten Arithmetik mit
• τar
≤ 2-st. Relationssymbol, +, ∗ 2-st. Funktionssysmbole, 0, 1
Konstanten. Manchmal auch < statt ≤.
• τar = (+, ·, 0, 1) wie oben ist Signatur der Arithmetik.
• τGr = (E ) ist Signatur der Graphen.
• τVR = (+, 0̄, (·k )k∈K ) ist Signatur der Vektorräume über
Körper K .
• ...
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τ -Strukturen
Def. Sei τ = (R1 , . . . , Rn , f1 , . . . , fm ). Eine τ -Struktur ist ein
A = (A, R1A , . . . , RnA , f1A , . . . , fmA ), wobei
• A nicht-leere Menge, genannt Universum von A
• RiA ⊆ A × . . . × A für i ∈ {1, . . . , n}
�
��
�
st(Ri )
• fi A : A × . . . × A → A für i ∈ {1, . . . , m}
�
��
�
st(fi )
Beachte Unterscheidung zwischen Relationssymbol R und
konkreter Relation R A in A.
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Beispiele
beachte: τ -Struktur sein heißt nur, für jedes Relations- und
Funktionssymbol in τ eine Relation bzw. Funktion entsprechender
Stelligkeit bereitzustellen
≤ -Struktur
Bsp.: die folgenden sind jeweils τar
• (N, ≤, +, ·, 0, 1)
• ({•}, R, f , g , c, d) mit f (•, •) = g (•, •) = • = c = d und
R(•, •) oder R = ∅
• (N, ≥, exp, proj 2 , 23, 167892), wobei proj 2 (x, y ) = y
gib jeweils τ -Strukturen der Größe ≥ 4 an, wobei
• τ = (E , P, H, B), alles Relationen mit st(E ) = 2, st(P) = 1,
st(H) = 3, st(B) = 0
• τ = (f , g , c, h), alles Funktionen mit st(f ) = 1, st(g ) = 2,
st(c) = 0, st(h) = 3
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Konzepte als Strukturen
generelle Beispiele:
a
• τLTS = ((−→)a∈Act , P1 , . . . , Pn ), wobei Act endliche Menge
a
von Aktionennamen, −→ jeweils 2-st., Pi einstellige
Relationen (Prädikate)
τLTS -Struktur ist beschriftetes Transitionssystem; modelliert
a
operationale Semantik eines Programms: −→ ist
Übergangsrelation zwischen Zuständen (z.B. “Eintritt in
Methode f”), Pi beschreibt, was in einzelnen Zuständen gilt
(z.B. “Programmvariable x hat Wert im erlaubten Bereich”).
• relationale Datenbank mit Tabellen T1 , . . . , Tn als τ -Struktur
mit entsprechendem τ
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