Interpretationen für Variablen

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
3.2 Aussagenlogik – Semantik
Interpretationen für Variablen
Def.: B = {0, 1} ist Menge der Booleschen Werte (falsch und
wahr)
Def.: Eine Interpretation (Variablenbelegung) ist eine Abbildung
I : V → B.
Schreibweise z.B. I = {A 7→ 1, B 7→ 0, . . .}
Def.: Update von Interpretation I an der Stelle A mit Wert b wird
geschrieben als I[A 7→ b]
was ist folgendes? I[A 7→ b](B)
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Interpretationen für Formeln
Interpretationen werden induktiv auf Formeln erweitert
I(tt) = 1
I(ff) = 0
I(ϕ ∧ ψ) = min{I(ϕ), I(ψ)}
I(ϕ ∨ ψ) = max{I(ϕ), I(ψ)}
I(¬ϕ) = 1 − I(ϕ)
(
1, falls I(ϕ) ≤ I(ψ)
I(ϕ → ψ) =
0, sonst
(
1, falls I(ϕ) = I(ψ)
I(ϕ ↔ ψ) =
0, sonst
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Modelle
Beachte Unterscheidung zwischen Formeln ff, tt (Syntax) und
zugeordneten Werten 0, 1 (Semantik)
Def.: Interpretation I heißt Modell von Formel ϕ, falls I(ϕ) = 1
Schreibweise: I |= ϕ
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Beispiele
Bsp.: I = {A 7→ 1, B 7→ 0, C 7→ 1, D 7→ 0}
Ist I jeweils Modell der folgenden Formeln?
• (A ∨ B) ∧ (C ∨ D)
• (¬A ∨ B) ∨ (¬C ∧ D)
• A → ¬B
• ¬A → B
• A→B
• ¬A → ¬B
• (A ↔ B) ↔ ¬(C ↔ ¬D)
• ¬(¬D → ff)
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Die intuitive Bedeutung der Junktoren
zur Modellierung von Aussagen wichtig: was bedeutet Junktoren
jeweils intuitiv?
• ϕ ∧ ψ: Konjunktion, “und”
Bsp.: es ist schon nach 13 Uhr und ich habe Hunger
• ϕ ∨ ψ: Disjunktion, “oder”
Bsp.: du gehst jetzt oder ich flippe aus
• ϕ → ψ: Implikation, “wenn-dann”
Bsp.: wenn die Fussgängerampel grün ist, dann ist die Ampel
für Autofahrer rot
• ϕ ↔ ψ: Bi-Implikation, “genau-dann-wenn”
Bsp.: Norbert sagt die Wahrheit genau dann, wenn Martin die
Wahrheit sagt
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Beispiel
in Aussagenlogik lassen sich Zusammenhänge zwischen einzelnen
Aussagen modellieren
Bsp. (weitergef.):
• Norbert sagt “Martin sagt die Wahrheit”.
• Martin sagt “Bahareh lügt”.
• Bahareh sagt “Norbert und Martin sagen entweder beide die
Wahrheit oder lügen beide”.
Formalisierung: drei Variablen B, M, N für die Aussagen Bahareh
sagt die Wahrheit (B), . . .
obiger Sachverhalt wird beschrieben durch welche Formel(n)?
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Beispiel (weiterg.)
• Norbert sagt “Martin sagt die Wahrheit”.
• Martin sagt “Bahareh lügt”.
• Bahareh sagt “Norbert und Martin sagen entweder beide die Wahrheit oder
lügen beide”.
formalisiert als (N ↔ M) ∧ (M ↔ ¬B) ∧ (B ↔ (M ↔ N))
finde Modell I dieser Formel!
Hilfestellung:
1
I(N) = I(M)
2
I(M) 6= I(B)
3
was folgt aus drittem Konjunkt und (1)?
gibt es noch andere Modelle?
einzige mögliche Lösung: Norbert und Martin lügen, Bahareh sagt
die Wahrheit
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Äquivalenzen
Def.: ϕ und ψ heissen äquivalent, geschrieben ϕ ≡ ψ, gdw. für
alle Interpretationen I gilt: I |= ϕ gdw. I |= ψ
Äquivalenzen können z.B. ausgenutzt werden, um kleinere
Formeln, die dasselbe ausdrücken, zu erhalten
Bsp.: B ↔ (A → ¬B) ≡ A ↔ ¬B
wie beweisen? alle Interpretationen ausprobieren!
auf wieviele kann man sich in diesem Fall beschränken?
Theorem 1
Sei ϕ Formel, A Variable mit A 6∈ Sub(ϕ). Dann gilt für alle I:
I[A 7→ 0] |= ϕ gdw. I[A 7→ 1] |= ϕ
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Äquivalenzen – Beispiele
handelt es sich bei den folgenden jeweils um korrekte Äquivalenzen
für beliebige ϕ, ψ, χ?
• ϕ ∧ (ψ ∧ χ) ≡ (ϕ ∧ ψ) ∧ χ
• ϕ∨ψ ≡ψ∨ϕ
• ϕ → ψ ≡ ¬(ϕ ∧ ¬ψ)
• ϕ → (ψ → χ) ≡ (ϕ → ψ) → χ
• ϕ → (ψ → χ) ≡ ϕ ∧ ψ → χ
• ϕ ↔ ψ ≡ (ϕ → ψ) ∧ (ψ → ϕ)
• ϕ ↔ ψ ≡ (ϕ ∧ ψ) ∨ (¬ϕ ∧ ¬ψ)
ϕ
0
1
0
1
0
1
0
1
ψ
0
0
1
1
0
0
1
1
χ
0
0
0
0
1
1
1
1
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Intuitive Interpretation dieser Äquivalenzen
Äquivalenz bedeutet, dieselbe Aussage zu formalisieren
also:
• “wenn es dunkel wird, dann gehen wir rein” ≡ “es wird nicht
dunkel oder wir gehen rein”
beachte: → drückt keine kausale, sondern nur
aussagenlogische Beziehung aus
• “aus Annahme A folgt, dass aus Annahme B dann C folgt” ≡
“aus den Annahmen A und B folgt C”
• “A genau dann, wenn B” ≡ “A impliziert B, und B impliziert
A”
• ...
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3.2 Aussagenlogik – Semantik
“Wenige” Formeln
sei n ≥ 0
wieviele verschiedene Formeln gibt es über n Variablen?
klar: nicht alle drücken verschiedene Aussagen aus
n
Thm.: Für jedes n ∈ N gibt es genau 22 viele paarweise
nicht-äquivalente Formeln der Aussagenlogik über n Variablen.
Beweis: Übung
Aufgabe: Finde alle 16 paarweise nicht-äquivalenten Formeln über
A und B.
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Definition neuer Operatoren
manchmal sinnvoll, neue Operatoren zu definieren (vgl.
Abkürzungen, Makros, Unterprozeduren, . . . )
Bsp.: ϕ → ψ hätte auch mittels ¬ und ∨ definiert werden können
Aufgabe: formalisiere die folgenden Aussagen
• ϕ ⊕ ψ: “entweder ϕ oder ψ”
• Ex 2 (ϕ, ψ, χ): “genau 2 der drei Aussagen ϕ, ψ, χ sind wahr”
• ϕ ← ψ: “ϕ nur dann, wenn ψ”
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