Präsenzblatt 2

Analysis für Informatiker (Prof. Dr. Bürgisser)
Wintersemester 10/11
2. P r ä s e n z ü b u n g
Aufgabe 5: (Verneinung von Aussagen)
Verneinen Sie folgende Aussagen:
(1) Zu jeder Aufgabe gibt es jemanden, der sie lösen kann.
(2) Es gibt Aufgaben, die unlösbar sind.
(3) Ich möchte Fußball oder Handball spielen.
(4) Ich möchte entweder Fußball oder Handball spielen.
(5) Ich kann weder schwimmen noch Klavier spielen.
(6) Kein Deutscher kann den 100-Meter-Lauf in unter 10, 00 Sekunden absolvieren.
Aufgabe 6: (Verneinung von Aussagen)
Eine Funktion f : R → R heißt gleichmäßig stetig, falls gilt:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ R : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.
Erklären Sie, wann eine Funktion nicht gleichmäßig stetig ist, indem Sie die obige Bedingung
verneinen.
Aufgabe 7: (Beweisführung, Aussagenlogik und Kontrapositionsgesetz)
Es seien zwei Zahlen m, n ∈ N gegeben, von denen nicht beide durch 3 teilbar sind. Zeigen
Sie mit Hilfe des Kontrapositionsgesetzes der Aussagenlogik, dass auch m + n und m − n
nicht beide durch 3 teilbar sind.
[Hinweis: In der 1. Präsenzübung haben wir a|b ∧ a|c ⇒ a|(b + c) gesehen. Wenden Sie diese und die
analoge Aussage für a − b auf a = m + n und b = m − n an.]
Aufgabe 8: (Beweisführung, Aussagenlogik und Kontrapositionsgesetz)
Es seien n eine ungerade natürliche Zahl und m eine gerade natürliche Zahl.
(a) Zeigen Sie (zum Beispiel durch Verwendung der 1. Binomischen Formel) auf direktem
Wege, dass n2 = n · n ungerade ist. Zeigen Sie ebenfalls, dass m2 gerade ist.
(b) Es gebe eine natürliche Zahl p mit p2 = m. Folgern Sie mit Hilfe des Kontrapositionsgesetzes aus dem ersten Aufgabenteil, dass p gerade ist.
Aufgabe 9: (Ein indirekter Beweis)
√
Beweisen Sie auf indirektem Wege, dass die reelle Zahl 2 > 0 irrational ist.
Aufgabe 10: (Gesetze der Aussagenlogik)
Zeigen Sie, dass
(1) der Ausdruck
(¬(A ⇒ ¬B) ⇒ C) ∧ (¬(C ∨ A))
in den Ausdruck
¬A ∧ ¬C
überführt werden kann. Benutzen Sie die Gesetze der Aussagenlogik.
(2) die Äquivalenz
(¬(A ∧ B) ∧ (A ⇒ B)) ⇔ (¬A ∨ ¬B)
in den Ausdruck
¬A ∨ B
überführt werden kann. Benutzen Sie Wahrheitstafeln.
Aufgabe 11: (Aussagenlogik: Der Henker)
Du sitzt in einer Zelle und wurdest zum Tode verurteilt, bekommst aber noch eine letzte
Chance. Vor Dir siehst du zwei Türen. Eine führt direkt in die Freiheit, die andere direkt
zum Henker. Vor jeder der beiden Türen steht ein Wächter. Einer der beiden sagt immer die
Wahrheit, der ander lügt immer. Du weißt allerdings nicht, welcher von beiden die Wahrheit sagt. Du darfst einem der Wächter eine Frage stellen, um herauszufinden, welche Tür
Du nehmen solltest. Wie lautet Deine Frage, damit Du mit Sicherheit die richtige Tür wählst?