GRUNDLAGEN G.1. Grundbegriffe der Aussagenlogik und

GRUNDLAGEN
G.1. Grundbegriffe der Aussagenlogik und Mengenlehre
G.1.1. Elementare Aussagenlogik
Wozu braucht man Kenntnisse über Aussagenlogik?
• Die Logik, auf deren Grundlage im folgenden Mathematik betrieben wird, sollte vorab
geklärt sein, damit Missverständnisse ausgeschlossen sind. Manchmal ist nämlich die
Umgangssprache zu unpräzise; manchmal treten Abweichungen von derselben auf.
• Grundkenntnisse über Logik sind auch beim Arbeiten mit Programmiersprachen
unverzichtbar.
G.1.1.1. Aussagen und ihr Wahrheitswert
Aussagen sind sprachliche Konstrukte, die entweder wahr oder falsch sind.
„wahr“ ( Abkürzung W, auch 1 ist üblich ) bzw. „falsch“ ( Abkürzung F, auch 0 ist üblich )
bezeichnet man als den Wahrheitswert der jeweiligen Aussage.
G.1.1.2. Aussageformen
Ein sprachliches Konstrukt mit einer oder mehreren Variablen heißt Aussageform, falls
daraus durch jede sinnvolle Belegung der Variablen eine Aussage entsteht.
G.1.1.3. Verknüpfungen von Aussagen
1. Ist n eine natürliche Zahl, so liefert eine n -stellige Verknüpfung aus n Aussagen
eine weitere.
2. Besonders wichtige Spezialfälle:
• Für n = 1 spricht man von einer unären Verknüpfung.
• Für n = 2 spricht man von einer binären Verknüpfung.
G.1.1.4. Wichtige Verknüpfungen von Aussagen
Negation Konjunktion Disjunktion
„nicht A “ „ A und B “
„ A oder B “
A B
A∧ B
A∨ B
¬A [ A ]
W W
F
W
W
W F
F
F
W
F W
W
F
W
F
F
W
F
F
Implikation
„aus A folgt B “
A⇒ B
Äquivalenz
„ A ist äquivalent zu B “
A⇔ B
W
F
W
W
W
F
F
W
Beispiel 2. zu G.1.1.4.:
Es sind die Wahrheitstafeln für ( A ∧ B ) ∨ C und A ∧ ( B ∨ C ) aufzustellen.
C
B ∨ C A ∧ (B ∨ C )
A
B
A ∧ B ( A ∧ B) ∨ C
Natürlich sind besonders Wahrheitstafeln von Interesse, die logische Gesetzmäßigkeiten
zeigen. Solche finden sich in der folgenden Zusammenstellung; mit einigen Begründungen
durch Betrachtung der zugehörigen Wahrheitstafeln beschäftigt sich
→ Aufgabe 1
G.1.1.5. Logische Gesetzmäßigkeiten
Für alle Aussagen A , B und C gelten:
1. ( A ∧ B ) ⇔ ( B ∧ A) ;
Kommutativgesetze
2. ( A ∧ ( B ∧ C )) ⇔ (( A ∧ B ) ∧ C ) ;
Assoziativgesetze
3. ( A ∧ ( B ∨ C )) ⇔ (( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )) ;
Distributivgesetze
4. (¬( A ∧ B )) ⇔ (¬A ∨ ¬B ) ;
Regeln von de Morgan
( A ∨ B ) ⇔ ( B ∨ A)
( A ∨ ( B ∨ C )) ⇔ (( A ∨ B ) ∨ C )
( A ∨ ( B ∧ C )) ⇔ (( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ))
(¬( A ∨ B )) ⇔ (¬A ∧ ¬B )