Mathematik I Lösungen zur Übung 1

Mathematik I
HTW
Lösungen zur Übung 1
MST
Zu Aufgabe 1 a)
( a ⇒ b ) ⇔ (¬a ∨ b )
Vergleiche die Wahrheitstafeln:
¬a ∨ b
a
b
a
W
F
W
F
W
W
F
F
W
W
F
W
W
F
W
F
b
a⇒b
W
W
F
F
W
W
F
W
Für die vier verschiedenen Bewertungsmöglichkeiten von a und b stimmen die
Wahrheitswerte beider Ausdrücke überein. Also sind die beiden Aussagen
äquivalent.
Zu Aufgabe 1 b)
( a ⇒ b ) ⇔ (¬ b ⇒ ¬ a )
Vergleiche die Wahrheitstafeln:
a⇒b
a
b
W W W
F
W W
W F
F
F
F
W
a
W
F
W
F
b
W
W
F
F
¬b ⇒ ¬ a
W
W
F
W
Für die vier verschiedenen Bewertungsmöglichkeiten von a und b stimmen die
Wahrheitswerte beider Ausdrücke überein. Also sind die beiden Aussagen
äquivalent.
Zu Aufgabe 1 c)
¬ ( a ∨ b ) ⇔ ( ¬ a ∧ ¬b )
Vergleiche die Wahrheitstafeln:
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a
b
¬(a ∨ b)
W
F
W
F
W
W
F
F
F
F
F
W
a
W
F
W
F
b
W
W
F
F
¬ a ∧ ¬b
F
F
F
W
Zu Aufgabe 2
Wir stellen die Wahrheitswerttabelle von auf: (a ∨ b) ∨ (a ⇒ ¬b)
a
W
W
F
F
b
W
F
W
F
a¤b
W
W
W
F
a ⇒ ¬b
F
W
W
W
( a ∨ b ) ∨ ( a ⇒ ¬b)
W
W
W
W
Der Ausdruck (a ∨ b) ∨ (a ⇒ ¬b) ist also immer Wahr. Wir bezeichnen solche
Ausdrücke, die immer Wahr sind als ‚Tautologie’ .
Zu Aufgabe 3
Die Schaltung ist folgendermaßen beschreibbar:
( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q ∨ (r ∧ q ))
(1.1)
da q ∨ (r ∧ q ) = (q ∨ r ) ∧ (q ∨ q ) = q ist (siehe Vorlesung), gilt für (1.1)
wegen der Assoziativität:
( p ∨ q) ∧ ( p ∨ (q ∨ (r ∧ q)) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ q) = p ∨ q
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Zu Aufgabe 4
Wird in der Übung besprochen!
Zu Aufgabe 5
a)
b)
c)
d)
∀x∈G:g(x)⇒(i(x)∧e(x))
(∃x∈G: g(x)∧i(x)) ∧(∃x∈G: g(x)∧ m(x))
(∀∃x∈G: ¬g(x)∨¬ i(x))∨ (∀x∈G: ¬g(x)∨ ¬m(x))
∀x∈G:g(x)⇒e(x)
Zu Aufgabe 6
Sei N Menge der nat. Zahlen, P Menge der Primzahlen, R Menge der rellen Zahlen
a) ∀n ∈ N ∃p ∈ N : p > n und p = 0 mod 3
b)
c)
d)
e)
f)
∀r ∈ R : r 2 ≥ 0
∃q ∈ R : q 2 < 0
∀m ∈ N : m2 gerade fl m gerade
∀m ∈ N : m ungerade fl m2 ungerade
¬( ∀m ∈ N : m2 gerade fl m gerade)
⇔¬( ∀m ∈ N : m gerade∨ ¬ m2 gerade)
⇔∃m∈N:¬( m gerade∨ ¬ m2 gerade)
⇔∃m∈N: ( ¬m gerade∧ m2 gerade)
⇔∃m∈N: (m ungerade∧ m2 gerade)
g) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R( wenn
x< y
so
∃z ∈ R mit x<z<y)
h) ¬(∀x ∈ R, ∀y ∈ R( wenn
x< y
so
∃z ∈ R mit x<z<y))
‹ ∃x ∈ R¬(∀y ∈ R( wenn
x< y
so
∃z ∈ R mit x<z<y))
‹ ∃x ∈ R∃y ∈ R¬( wenn
x< y
so
∃z ∈ R mit x<z<y))
‹ ∃x ∈ R∃y ∈ R¬( ¬ ( x < y ) ∨ ( ∃z ∈ R mit x<z<y))
‹ ∃x ∈ R∃y ∈ R(
x < y ∧ ∀z ∈ R : ¬( x<z<y) ) (de Morgan’sche Regeln)
-----------------------------------------------------------------i) ∃n ∈ N : (n ≡ 0 mod 2 ∧ n = 0 mod 3)
j) ∀x∈R+ ∃y∈R+: y< x (R+=Menge der positiven reellen Zahlen).
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