H10-T2-A1 - math.uni

H10-T2-A1
Für welche natürlichen Zahlen n ≥ 2 gilt x2 = 1 für alle Elemente x in der Einheitengruppe des Restklassenringes Z/nZ?
(6 Punkte)
Lösungsvorschlag. Sei n = pr11 · . . . · prnn die Primfaktorzerlegung von n. Nenne zur Abkürzung ai := pri i . Dann ist nach dem chinesischen Restsatz der kanonische Morphismus
π : Zn → Za1 × . . . × Zan
ein Isomorphismus von Ringen, der also insbesondere Einheiten auf Einheiten abbildet.
Da die Multiplikation auf der rechten Seite Komponentenweise ausgeführt wird (also
mit π(x) = (x1 , . . . , xn ) genauer x2 = 1 ⇔ π(x)2 = (1, . . . , 1) ⇔ (x21 , . . . , x2n ) =
(1, . . . , 1) ⇔ x2i = 1 ∀ i ∈ {1, . . . , n}) können wir also äquivalent untersuchen, für
welche Primzahlpotenzen pr die Bedingung
x2 = 1 ∀ x ∈ Z×
pr
(1)
gilt. Hierzu stellen wir eine Fallunterscheidung an:
2
r
• p ≥ 5: In diesem Fall ist 2 ∈ Z×
pr und 2 = 4 6≡ 1 mod p .
• p = 3: Hier müssen wir nach den möglichen Werten von r weiter unterscheiden: Für
r ≥ 2 ist wiederum 22 = 4 6≡ 1 mod 3r . Für r = 1 hingegen ist die Z×
3 = {1, 2}
und 12 = 1 ≡ 22 mod 3.
• p = 2: Für r ≥ 4 ist 32 = 9 6≡ 1 mod 2r . Für r = 3 haben wir Z×
8 = {1, 3, 5, 7}
und 12 = 1 ≡ 33 ≡ 52 ≡ 72 mod 8. Für r = 2 erhalten wir Z×
4 = {1, 3} und
2
2
1 = 1 ≡ 3 mod 4. Für r = 1 ist nichts zu zeigen.
Unserer Vorüberlegung zufolge gilt die Bedingung (1) also für alle n = 2r1 · 3r2 , mit
r1 ∈ {0, 1, 2, 3}, r2 ∈ {0, 1}, wobei der Fall r1 = 0 = r2 ausgeschlossen sein soll, also
n = 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
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