Aufgaben

T ECHNISCHE U NIVERSITÄT M ÜNCHEN
Z ENTRUM M ATHEMATIK
PD Dr. A. Johann
Vorkurs Mathematik für Bau-, Umweltingenieurwesen und Geodäsie — Blatt 1
Wintersemester 2013/2014
Hinweise: Es ist nicht notwendig und auch nicht vorgesehen, dass Sie alle hier angegebenen Aufgaben durchrechnen, dafür sind es zu viele. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben variiert. Wenn Sie mit einer Aufgabe
nicht zurechtkommen, fragen Sie Ihren Tutor oder machen Sie einfach eine andere.
Alle Aufgaben auf diesem ersten Blatt sollen ohne Taschenrechner bearbeitet werden.
Rechnen mit ganzen Zahlen
Aufgabe 1.1 (Primfaktorzerlegung)
Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung der folgenden Zahlen.
(a) 1001
(b) 223
(c) 65536
(e) 6783
(f) 989
(g) 765
(d) 9800
Aufgabe 1.2 (Rechnen modulo n)
Bestimmen Sie für die folgenden Zahlen den kleinsten nichtnegativen Teilungsrest modulo n.
(a) 177 (mod 10)
(b) 177 (mod 5)
(c) 15536 (mod 6)
(d) 1234 (mod 12345)
(e) 987987987987 (mod 17)
(f) 77654321 (mod 6)
(g) 76 (mod 10)
Bruchrechnung/Rechnen in Q
Aufgabe 1.3 (Bruchrechnung)
Berechnen Sie und geben Sie die Lösung vollständig gekürzt als Bruch an:
(a)
7
12
5
13
7.5
− 73
13
+
(e) 1 +
(b)
(f)
1
3
1
2
+
+
1
6
2
3
(c)
+
3
4
+
4
5
(g)
1
4
+
12
5
1
3
1
+ 12
: 76 : 15 :
(d) (5 + 14 )(7 − 51 ) +
6
5
(h)
1
3
1
1+
1
1+ 21
Aufgabe 1.4 (Vereinfachung von Brüchen)
Berechnen/vereinfachen Sie die folgenden Brüche und geben Sie (falls notwendig) Bedingungen an, die verhindern, dass eine Null im Nenner steht. Tipps: Ausklammern, binomische Formeln.
(a)
(e)
x−b
a−b
+
x−b
a−b
x−a
b−a
+
x−a
b−a
(b)
+
x−d
c−d
+
x−c
d−c
1
a
+
+
1
b
·
1
c
x− f
e− f
+
x−e
e− f
(c)
b3 −a 2 b
a 2 b−2ab2 +b3
(d)
a 4 −2a 2 b2 +b4
(a−b)(a 2 +2ab+b2 )
Aufgabe 1.5 (Bruchgleichungen)
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in R nach allen auftretenden Variablen auf (d.h. zuerst nach a, danach
nach b und so weiter). Welche Einschränkungen sind notwendig, damit keine Null im Nenner steht und damit
die jeweilige Gleichung lösbar ist?
(a)
1
c
=
1
a
+
1
b
(b)
a
b
=
a
c
+
c
b
Rechnen in R
Aufgabe 1.6 (Dezimalzahlen)
Schreiben Sie die folgenden Brüche als endliche oder periodische Dezimalzahlen.
(a)
1
7
(b)
1
6
(c)
3
13
(d) − 27
Aufgabe 1.7 (Der Betrag)
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke.
(a) |12|
5
+ 1
(d) −7
|6|
|−11|·|13|·|−7| (g) |3|·|−5|·|−19|
·
|7|·|11|·|−13|
|3|·|−17|·|5| (b) |−8|
(e) |1| − 2 − 3 − 4 − 5
(c) |−3| − |−4|
(f) (−2)|−12| : |−2|−|12|
(h) |−517294515| · |4769088| − |517294515| · |−4769088|
Aufgabe 1.8 (Größer und kleiner)
Ordnen Sie die folgenden reellen Zahlen der Größe nach.
2009 1 + 12
17
,
,
7,
286 17
−
1
12
b−18.987c
82
, −
· (−6), max{2, 5, 9, 3, −2} + min{3, 6, 10, 4}
b12.924c
7
Aufgabe 1.9 (Positiv oder negativ)
Sind die folgenden Zahlen positiv, negativ oder gleich Null?
(a)
√
3
2−
5
4
(d) (−1)n mit n ∈ Z
(b)
31
22
−
√
2
(c)
√
7−
√
2−
√
5