Blatt 4

Mathe für die Informatik II – SoSe 2017
Dr. Samuel Hetterich
Blatt 4
Abgabe: Di 23.05.2017, 12:15 Uhr
Hinweis:
I Bewertet und korrigiert werden nur die Aufgaben 4.1 bis 4.4 - also müssen Sie nur Lösungen dieser
Aufgaben einreichen. Die Präsenzaufgabe 4.5 wird in den Tutorien gelöst und besprochen - gerne können
Sie sich darauf vorbereiten - für jede vorgerechnete Präsenzaufgabe werden Zusatz-Hausaufgabenpunkte
vergeben.
Aufgabe 4.1
4 Punkte
Berechnen Sie alle n ∈ N so dass ϕ(n) = 56.
Aufgabe 4.2
4 Punkte
a) Zeigen Sie
10i ≡ (−1)i
(mod 11)
für i ≥ 0.
Wie lässt sich daraus für eine allgemeine Zahl der Rest beim Teilen durch elf errechnen?
Tipp: Was ist a · 102 + b · 101 + c · 100 modulo 11?
b) Zeigen Sie, dass die Zahl 4.531.893.868 keine Quadratzahl ist, indem Sie den Rest modulo 11 betrachten.
Aufgabe 4.3
4 Punkte
∗
a) Berechnen Sie das inverse Element zur 7 in der Gruppe (Z30
, 30 ).
∗
b) Berechnen Sie das inverse Element zur 11 in der Gruppe (Z41
, 41 ).
c) Hat 12 ein inverses Element modulo 15 (d.h. es gibt ein s ∈ Z mit 12 · s ≡ 1 (mod 15))? (Beweisen
Sie Ihre Ausssage.)
d) Sei n ∈ N, n ≥ 2. Beweisen Sie, dass eine ganze Zahl a ∈ Z genau dann ein inverses Element
modulo n besitzt (d.h. es gibt ein s ∈ Z mit a · s ≡ 1 (mod n)), wenn ggT(a, n) = 1?
Tipp: Hilft Ihnen die Aussage aus Aufgabe 3.3?
Aufgabe 4.4
4 Punkte
Betrachten Sie die Gruppe
Rest, wenn es eine Zahl b ∈
(Z∗p , p )
Z∗p gibt,
a = b p b
wobei p eine Primzahl ist. Eine Zahl a ∈
mit
oder gleichbedeutend
a ≡ b2
Z∗p
heißt quadratischer
(mod p).
Zeigen Sie, dass für jeden quadratischen Rest a ∈ Z∗p gilt:
a
p−1
2
≡1
(mod p)
Bemerkung: Umgangssprachlich sind “quadratische Reste” einfach die “Quadratzahlen” in Zp∗ (sie heißen
“Reste”, weil es sich um einen Rest beim Teilen durch p handelt). Wie in N sind natürlich nicht alle
Zahlen in Z∗n Quadratzahlen.
Präsenzaufgabe 4.5
Berechnen Sie:
a) Rest(2167 , 83)
b) Rest(3167 , 17)
c) Rest(125 , 3) (mit Hilfe des kleinen Satzes von Fermat)
Homepage der Veranstaltung:
https://tinyurl.com/matheinfo2
3 Zusatzpunkte